《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. (2024·仙居期末)如图,在△ABC 中,AB= AC,将△ABC 绕点 B 旋转得到△DBE,使点 D 落在 AC 边上,DE,BC 相交于点 F. 设∠BAC= α,∠BFD= β,则下列关系正确的是 (C)

A.α+β= 150°
B.2α+β= 230°
C.$\frac{5}{2}α+β= 270°$
D.3α+β= 300°

答案： 1.C 点拨:
∵AB=AC,∠BAC=α,
∴∠C=∠ABC=$\frac {1}{2}(180^{\circ }-\alpha )=90^{\circ }-\frac {1}{2}\alpha$,由旋转得 DB=AB,∠CBE=∠ABD,∠E=∠C=$90^{\circ }-\frac {1}{2}\alpha$,
∴∠BDA=∠BAC=α,
∴∠CBE=∠ABD=$180^{\circ }-2\alpha$,
∵∠BFD=∠E+∠CBE,且∠BFD=β,
∴β=$90^{\circ }-\frac {1}{2}\alpha +180^{\circ }-2\alpha$,整理得$\frac {5}{2}\alpha +\beta =270^{\circ }$,故选 C.

2. (2023·菏泽)如图,E 是正方形 ABCD 内一点,将△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,得到△CBF. 若∠ABE= 55°,则∠EGC= ______°.

80

答案： 2.80 点拨:
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠ABC=$90^{\circ }$.
∵∠ABE=$55^{\circ }$,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=$35^{\circ }$.由旋转的性质得 BE=BF,∠EBF=$90^{\circ }$,
∴∠BEF=∠BFE=$45^{\circ }$.
∵∠EGC 是△BEG 的一个外角,
∴∠EGC=∠BEF+∠EBC=$80^{\circ }$.

3. 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一个角度α得到△ADE,点 B,C 的对应点分别为 D,E.
(1)若α= 60°,如图①,连接 EC,试判断△ACE 的形状,并予以证明;
(2)若点 D 恰好落在 BC 边上,如图②,且点 A,B,E 在同一条直线上,∠C= 30°,求旋转角α的度数.

答案： 3.解:
(1)△ACE 是等边三角形.证明如下:
∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一个角度α得到△ADE,
∴AE=AC,∠EAC=α=$60^{\circ }$,
∴△ACE 是等边三角形.
(2)
∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转一个角度α得到△ADE,
∴AD=AB,∠C=∠E=$30^{\circ }$,∠B=∠ADE,∠DAB=α,
∴∠DAB=∠E+∠ADE=∠B+$30^{\circ }$,∠ADB=∠B.
∵∠B+∠ADB+∠DAB=$180^{\circ }$,
∴3∠B+$30^{\circ }=180^{\circ }$,
∴∠B=$50^{\circ }$,
∴∠DAB=$80^{\circ }=\alpha$,
∴旋转角α的度数为$80^{\circ }$.