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2. 如图,斜抛小球,小球触地后呈抛物线反弹,每次反弹后保持相同的抛物线形状(开口方向与开口大小前后一致),第一次反弹后的最大高度为 $ h_1 $,第二次反弹后的最大高度为 $ h_2 $。第二次反弹后,小球越过最高点落在垂直于地面的挡板 $ C $ 处,且离地高度 $ BC = \frac{1}{3}h_1 $。若 $ OB = 90 \mathrm{dm} $,$ OA = 2AB $,则 $ \frac{h_2}{h_1} = $
$\frac{4}{9}$
。
答案：
$\frac{4}{9}$ 点拨:
∵OB=90dm，OA=2AB，
∴OA=60dm，AB=30dm。设第一次反弹后的抛物线的函数解析式为y=a(x - 30)²+h₁，
∵抛物线过原点O，
∴a(0−30)²+h₁=0，解得h₁=−900a。
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状(开口方向与开口大小前后一致)，
∴两个抛物线的函数解析式中的a是相同的。设第二次反弹后的抛物线的函数解析式为y=a(x - m)²+h₂，
∵BC=$\frac{1}{3}$h₁，h₁=−900a，
∴BC=−300a。
∵抛物线y=a(x−m)²+h₂过A，C两点，
∴$\begin{cases} 0=a(60 - m)^{2}+h_{2} \\ -300a=a(90 - m)^{2}+h_{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 80 \\ h_{2} = -400a \end{cases}$，
∴$\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{-400a}{-900a}=\frac{4}{9}$。
∵OB=90dm，OA=2AB，
∴OA=60dm，AB=30dm。设第一次反弹后的抛物线的函数解析式为y=a(x - 30)²+h₁，
∵抛物线过原点O，
∴a(0−30)²+h₁=0，解得h₁=−900a。
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状(开口方向与开口大小前后一致)，
∴两个抛物线的函数解析式中的a是相同的。设第二次反弹后的抛物线的函数解析式为y=a(x - m)²+h₂，
∵BC=$\frac{1}{3}$h₁，h₁=−900a，
∴BC=−300a。
∵抛物线y=a(x−m)²+h₂过A，C两点，
∴$\begin{cases} 0=a(60 - m)^{2}+h_{2} \\ -300a=a(90 - m)^{2}+h_{2} \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = 80 \\ h_{2} = -400a \end{cases}$，
∴$\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{-400a}{-900a}=\frac{4}{9}$。
3. (2024·武汉) 16 世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图,以发射点为原点,地平线为 $ x $ 轴,垂直于地面的直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 $ y = ax^2 + x $ 和直线 $ y = -\frac{1}{2}x + b $。其中,当火箭运行的水平距离为 $ 9 \mathrm{km} $ 时,自动引发火箭的第二级。
(1) 若火箭第二级的引发点的高度为 $ 3.6 \mathrm{km} $。
① 直接写出 $ a $,$ b $ 的值；
② 火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 $ 1.35 \mathrm{km} $,求这两个位置之间的距离。
(2) $ a $ 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 $ 15 \mathrm{km} $？
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图,以发射点为原点,地平线为 $ x $ 轴,垂直于地面的直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 $ y = ax^2 + x $ 和直线 $ y = -\frac{1}{2}x + b $。其中,当火箭运行的水平距离为 $ 9 \mathrm{km} $ 时,自动引发火箭的第二级。
(1) 若火箭第二级的引发点的高度为 $ 3.6 \mathrm{km} $。
① 直接写出 $ a $,$ b $ 的值；
② 火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 $ 1.35 \mathrm{km} $,求这两个位置之间的距离。
(2) $ a $ 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过 $ 15 \mathrm{km} $？
答案：
解:
(1)①
∵抛物线y=ax²+x经过点(9,3.6)，
∴81a + 9 = 3.6，解得a = -$\frac{1}{15}$。
∵直线y = -$\frac{1}{2}$x + b经过点(9,3.6)，
∴3.6 = -$\frac{1}{2}$×9 + b，解得b = 8.1。②由①得y = -$\frac{1}{15}$x²+x=-$\frac{1}{15}$(x²−15x+$\frac{225}{4}$)+$\frac{15}{4}$=-$\frac{1}{15}$(x - $\frac{15}{2}$)²+$\frac{15}{4}$(0 ≤ x ≤ 9)。
∴火箭运行的最高点是$\frac{15}{4}$km。
∵$\frac{15}{4}$ - 1.35 = 2.4(km)，
∴2.4 = -$\frac{1}{15}$x²+x，整理得x²−15x + 36 = 0，解得x₁ = 12 ＞ 9(不合题意，舍去)，x₂ = 3。由①得y = -$\frac{1}{2}$x + 8.1，
∴2.4 = -$\frac{1}{2}$x + 8.1，解得x = 11.4。
∴11.4 - 3 = 8.4(km)。答:这两个位置之间的距离为8.4km。
(2)当x = 9时，y = 81a + 9，
∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a + 9)。设火箭落地点与发射点的水平距离为15km，
∴直线y = -$\frac{1}{2}$x + b经过点(9,81a + 9)，(15,0)，
∴$\begin{cases} -\frac{1}{2} × 9 + b = 81a + 9 \\ -\frac{1}{2} × 15 + b = 0 \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -\frac{2}{27} \end{cases}$，
∴当 -$\frac{2}{27}$ ＜ a ＜ 0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km。
(1)①
∵抛物线y=ax²+x经过点(9,3.6)，
∴81a + 9 = 3.6，解得a = -$\frac{1}{15}$。
∵直线y = -$\frac{1}{2}$x + b经过点(9,3.6)，
∴3.6 = -$\frac{1}{2}$×9 + b，解得b = 8.1。②由①得y = -$\frac{1}{15}$x²+x=-$\frac{1}{15}$(x²−15x+$\frac{225}{4}$)+$\frac{15}{4}$=-$\frac{1}{15}$(x - $\frac{15}{2}$)²+$\frac{15}{4}$(0 ≤ x ≤ 9)。
∴火箭运行的最高点是$\frac{15}{4}$km。
∵$\frac{15}{4}$ - 1.35 = 2.4(km)，
∴2.4 = -$\frac{1}{15}$x²+x，整理得x²−15x + 36 = 0，解得x₁ = 12 ＞ 9(不合题意，舍去)，x₂ = 3。由①得y = -$\frac{1}{2}$x + 8.1，
∴2.4 = -$\frac{1}{2}$x + 8.1，解得x = 11.4。
∴11.4 - 3 = 8.4(km)。答:这两个位置之间的距离为8.4km。
(2)当x = 9时，y = 81a + 9，
∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a + 9)。设火箭落地点与发射点的水平距离为15km，
∴直线y = -$\frac{1}{2}$x + b经过点(9,81a + 9)，(15,0)，
∴$\begin{cases} -\frac{1}{2} × 9 + b = 81a + 9 \\ -\frac{1}{2} × 15 + b = 0 \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -\frac{2}{27} \end{cases}$，
∴当 -$\frac{2}{27}$ ＜ a ＜ 0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km。
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