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3. 某班数学兴趣小组对函数 $ y = x^{2} - 2|x| $ 的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整。
(1) 自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数,$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
| $ x $ | …$ $ | $ -3 $ | $ -\frac{5}{2} $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \frac{5}{2} $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 3 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ m $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ 3 $ | …$ $ |
其中,$ m = $
(2) 根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,已画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分。
① 函数的图象与 $ x $ 轴有
② 方程 $ x^{2} - 2|x| = 2 $ 有
③ 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - 2|x| = a $ 有 $ 4 $ 个实数根,则 $ a $ 的取值范围是
(1) 自变量 $ x $ 的取值范围是全体实数,$ x $ 与 $ y $ 的几组对应值列表如下：
| $ x $ | …$ $ | $ -3 $ | $ -\frac{5}{2} $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ \frac{5}{2} $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 3 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ m $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ 3 $ | …$ $ |
其中,$ m = $
0
。(2) 根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,已画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分。
解:如答图.
(3) 观察函数图象,写出函数的两条性质。解:(可从函数的最值、增减性、图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可)如:该函数有最小值，最小值是−1;当x＜−1时，y随x的增大而减小;该函数的图象关于y轴对称.
(4) 进一步探究函数的图象发现：① 函数的图象与 $ x $ 轴有
3
个交点,所以对应的方程 $ x^{2} - 2|x| = 0 $ 有3
个实数根；② 方程 $ x^{2} - 2|x| = 2 $ 有
2
个实数根；③ 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - 2|x| = a $ 有 $ 4 $ 个实数根,则 $ a $ 的取值范围是
−1＜a＜0
。
答案：
(1)0
(2)解:如答图.
(3)解:(可从函数的最值、增减性、图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可)如:该函数有最小值，最小值是−1;当x＜−1时，y随x的增大而减小;该函数的图象关于y轴对称.
(4)①3 3 点拨:由图象可知,与x轴的交点有3个，故令y=0,可得方程的三个解x₁=−2,x₂=0,x₃=2.②2 点拨:如答图，画出直线y=2,可知直线y=2与函数$y=x^{2}-2|x|$的图象有2个交点,故方程$x^{2}-2|x|=2$有2个实数根.③−1＜a＜0 点拨:要使关于x的方程$x^{2}-2|x|=a$有4个实数根，则直线y=a与函数$y=x^{2}-2|x|$的图象有4个交点，故−1＜a＜0,即a的取值范围为−1＜a＜0.
(1)0
(2)解:如答图.
(3)解:(可从函数的最值、增减性、图象的对称性等方面阐述，答案不唯一，合理即可)如:该函数有最小值，最小值是−1;当x＜−1时，y随x的增大而减小;该函数的图象关于y轴对称.
(4)①3 3 点拨:由图象可知,与x轴的交点有3个，故令y=0,可得方程的三个解x₁=−2,x₂=0,x₃=2.②2 点拨:如答图，画出直线y=2,可知直线y=2与函数$y=x^{2}-2|x|$的图象有2个交点,故方程$x^{2}-2|x|=2$有2个实数根.③−1＜a＜0 点拨:要使关于x的方程$x^{2}-2|x|=a$有4个实数根，则直线y=a与函数$y=x^{2}-2|x|$的图象有4个交点，故−1＜a＜0,即a的取值范围为−1＜a＜0.
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