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1. 已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y = mx^{2} - (m + 2)x + 2(m \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数 $ m $ 的值。
答案：
解:令y=0,则(x−1)(mx−2)=0,
∴x−1=0或mx−2=0,解得x₁=1,x₂= $\frac{2}{m}$.
∵抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，
∴x₁≠x₂,即m≠2.又当正整数m为1或2时,x₂为整数,
∴正整数m的值为1.
∴x−1=0或mx−2=0,解得x₁=1,x₂= $\frac{2}{m}$.
∵抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，
∴x₁≠x₂,即m≠2.又当正整数m为1或2时,x₂为整数,
∴正整数m的值为1.
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ -x^{2} + kx + k - \frac{5}{4} = 0 $ 有一根为 $ x = m $,若 $ -2 \leq m \leq 1 $,求实数 $ k $ 的取值范围。
答案：
解:
∵关于x的方程$-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}=0$有一实数根为x=m,
∴抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴有交点(m,0),Δ≥0,
∴$k^{2}+4(k-\frac{5}{4})≥0$,即$k^{2}+4k-5≥0$,
∴k≤-5或k≥1.抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$的对称轴为直线$x=\frac{k}{2}$.①当k≤-5时,抛物线的对称轴在直线x=-2的左侧.
∵抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴的一个交点为(m,0),-2≤m≤1,
∴$-(-2)^{2}-2k+k-\frac{5}{4}≥0$,
∴$k≤-\frac{21}{4}$;②当k≥1时,抛物线的对称轴在直线$x=\frac{1}{2}$的右侧,
∵抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴的一个交点为(m,0),-2≤m≤1,
∴$-(-2)^{2}-2k+k-\frac{5}{4}≤0$,
∴$k≥-\frac{21}{4}$,
∴k≥1.综上所述,$k≤-\frac{21}{4}$或k≥1.
∵关于x的方程$-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}=0$有一实数根为x=m,
∴抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴有交点(m,0),Δ≥0,
∴$k^{2}+4(k-\frac{5}{4})≥0$,即$k^{2}+4k-5≥0$,
∴k≤-5或k≥1.抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$的对称轴为直线$x=\frac{k}{2}$.①当k≤-5时,抛物线的对称轴在直线x=-2的左侧.
∵抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴的一个交点为(m,0),-2≤m≤1,
∴$-(-2)^{2}-2k+k-\frac{5}{4}≥0$,
∴$k≤-\frac{21}{4}$;②当k≥1时,抛物线的对称轴在直线$x=\frac{1}{2}$的右侧,
∵抛物线$y=-x^{2}+kx+k-\frac{5}{4}$与x轴的一个交点为(m,0),-2≤m≤1,
∴$-(-2)^{2}-2k+k-\frac{5}{4}≤0$,
∴$k≥-\frac{21}{4}$,
∴k≥1.综上所述,$k≤-\frac{21}{4}$或k≥1.
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