《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 若抛物线 $ y = ax^{2}-4ax + 3a - 2(a\neq0) $ 恒过定点,则定点的坐标为(3,−2),(1,−2)。

答案： (3,−2),(1,−2)　　点拨:
∵y=ax²−4ax+3a−2=a(x²−4x+3)−2,令x²−4x+3=0,解得x=3或x=1,
∴不论a取任何不为0的实数，当x=3或1时,y=−2 恒成立，
∴抛物线恒过的定点坐标为(3,−2),(1,−2).

2. 已知抛物线 $ C:y = x^{2}-2mx + 2m + 1 $。
(1) 用含 $ m $ 的代数式表示抛物线 $ C $ 的顶点坐标,并说明无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ C $ 的顶点都在同一条抛物线 $ C_{1} $ 上；
(2) 无论 $ m $ 为何值,抛物线 $ C $ 一定恒过定点 $ A $,设抛物线 $ C $ 的顶点为 $ B $,当点 $ B $ 不与点 $ A $ 重合时,过点 $ A $ 作 $ AE// x $ 轴,与抛物线 $ C $ 的另一个交点为 $ E $,过点 $ B $ 作 $ BD// x $ 轴,与抛物线 $ C_{1} $ 的另一个交点为 $ D $。求证：四边形 $ AEBD $ 是平行四边形。

答案：

(1)解:
∵y=x²−2mx+2m+1=(x−m)²−m²+2m+1,
∴抛物线C的顶点坐标为(m,−m²+2m+1),
∴无论m为何值，抛物线C的顶点都在抛物线C₁:y=−x²+2x+1上.　
(2)证明:抛物线的一部分的示意图如答图所示.　　　　　　　　
　
∵y=x²−2mx+2m+1=2m(1−x)+x²+1恒过定点A,
∴当x=1时,y=2,即点A(1,2).　由
(1)知,点B(m,−m²+2m+1).
∵点B为抛物线C的顶点,AE//x轴,
∴AE关于抛物线C的对称轴x=m对称,
∴AE=2(x_A−x_B)=2(1−m).
∵抛物线C₁:y=−x²+2x+1的对称轴为直线x=1,BD//x轴,
∴BD关于抛物线C₁的对称轴x=1对称，
∴BD=2(1−m),
∴AE=BD.
∵AE//x轴,BD//x轴,
∴AE//BD,
∴四边形AEBD是平行四边形.

3. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,若 $ P(2m,4m^{2}+8m + 3) $,$ Q(2n,2n - 4) $ 是两个动点($ m $,$ n $ 为实数),求 $ PQ $ 长度的最小值。

答案：
解:
∵P(2m,4m²+8m+3),令x=2m,y=4m²+8m+3,则y=x²+4x+3,
∴点P在抛物线y=x²+4x+3上.同理可得点Q在直线y=x−4上,
∵直线y=x−4与y轴交于点A(0,−4),与x轴交于点B(4,0),
∴∠OAB=45°.　设与直线y=x−4平行的直线的函数解析式为y=x +b,　当直线y=x+b与抛物线y=x²+4x+3有一个交点时,x+b=x²+4x+3,　即x²+3x+3−b=0,则Δ=9−12+4b=0,
∴b=$\frac{3}{4}$,
∴y=x+$\frac{3}{4}$,此时直线与y轴交于点C(0,$\frac{3}{4}$),
∴AC=$\frac{19}{4}$.　如答图，过点C作CD⊥AB于点D,　则CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{19\sqrt{2}}{8}$.故PQ长度的最小值为$\frac{19\sqrt{2}}{8}$.