《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,有下列说法：①若$a+b+c= 0$,则$b^{2}-4ac≥0$；②若方程$ax^{2}+c= 0$有两个不相等的实数根,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$必有两个不相等的实数根；③若c是方程$ax^{2}+bx+c= 0$的一个根,则一定有$ac+b+1= 0$成立；④若$x_{0}是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的根,则$b^{2}-4ac= (2ax_{0}+b)^{2}$. 其中正确的说法是______①②④. (填序号)

答案： ①②④ 点拨:①
∵a+b+c=0,
∴x=1 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解,
∴Δ=b²-4ac≥0,说法①正确;②
∵方程 ax²+c=0 有两个不相等的实数根,
∴Δ=-4ac＞0,
∴Δ=b²-4ac≥-4ac＞0,
∴方程 ax²+bx+c=0 有两个不相等的实数根,说法②正确;③
∵c 是方程 ax²+bx+c=0 的一个根,
∴ac²+bc+c=0,若 c 为 0,则无法得出 ac+b+1=0,说法③不正确;④
∵x₀是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根,
∴x₀=$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
∴±$\sqrt{b^2-4ac}$=2ax₀+b,
∴b²-4ac=(2ax₀+b)²,说法④正确.
∴正确的说法有①②④.

2. 如果关于x的方程$mx^{2}-2(m+2)x+m+5= 0$没有实数根,试判断关于x的方程$(m-5)x^{2}-2(m-1)x+m= 0$的根的情况.

答案： 解:①当 m≠0 时,
∵方程 mx²-2(m+2)x+m+5=0 没有实数根,
∴Δ=[-2(m+2)]²-4m(m+5)=4(m²+4m+4-m²-5m)=4(4-m)＜0,
∴m＞4.对于方程(m-5)x²-2(m-1)x+m=0,当 m=5 时,方程有一个实数根;当 m≠5 时,Δ₁=[-2(m-1)]²-4m(m-5)=12m+4.
∵m＞4,
∴Δ₁=12m+4＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.②当 m=0 时,方程 mx²-2(m+2)x+m+5=0 有实数根,不符合题意.答:当 m=5 时,方程(m-5)x²-2(m-1)x+m=0 有一个实数根;当 m＞4 且 m≠5 时,方程(m-5)x²-2(m-1)x+m=0 有两个不相等的实数根.

3. 已知关于x的方程$(k-1)x^{2}+2kx+k+3= 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；
(2)当方程有两个相等的实数根时,求关于y的方程$y^{2}+(a-4k)y+a+1= 0$的整数根(a为正整数).

答案：
(1)
∵关于 x 的方程(k-1)x²+2kx+k+3=0 有两个不相等的实数根,
∴k-1≠0,即 k≠1,且 Δ＞0,
∴(2k)²-4×(k-1)×(k+3)=4k²-4k²-8k+12=-8k+12＞0,
∴k＜$\frac{3}{2}$,
∴k 的取值范围是 k＜$\frac{3}{2}$且 k≠1.
(2)
∵当方程有两个相等的实数根时,k-1≠0,且 Δ=-8k+12=0,
∴k=$\frac{3}{2}$.
∴关于 y 的方程为 y²+(a-6)y+a+1=0,
∴Δ'=(a-6)²-4(a+1)=a²-12a+36-4a-4=a²-16a+32=(a-8)²-32.由题意知,当(a-8)²-32 是完全平方数时,方程才可能有整数根.设(a-8)²-32=m²(其中 m 为整数),
∴(a-8)²-m²=32,即(a-8+m)(a-8-m)=32.设 32=p·q(p,q 均为整数),不妨设$\left\{\begin{array}{l} a-8+m=p,\\ a-8-m=q,\end{array}\right. $两式相加,得 a=$\frac{p+q+16}{2}$.
∵a 为正整数,
∴p 与 q 的奇偶性相同,
∴32=2×16=4×8=(-2)×(-16)=(-4)×(-8),
∴p+q=18 或 12 或-18 或-12.
∴a=17 或 14 或-1(不合题意,舍去)或 2.当 a=17 时,方程的两根为 y=$\frac{-11\pm7}{2}$,即 y₁=-2,y₂=-9.当 a=14 时,方程的两根为 y=$\frac{-8\pm2}{2}$,即 y₃=-3,y₄=-5.当 a=2 时,方程的两根为 y=$\frac{4\pm2}{2}$,即 y₅=3,y₆=1.