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3. 甲、乙两汽车出租公司均有 50 辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元,那么 50 辆汽车可以全部租出. 如果每辆汽车的月租费每增加 50 元,那么将少租出 1 辆汽车. 另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200 元.
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计 1850 元.
说明：①汽车数量为整数；②月利润= 月租车费一月维护费；③两公司月利润差= 月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在甲、乙两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为 10 辆时,甲公司的月利润是
(2)求甲、乙两公司月利润差的最大值；
(3)甲公司热心公益事业,每租出 1 辆汽车捐出 a 元$(a ＞ 0)$给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为 17 辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求 a 的取值范围.
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费 3000 元,那么 50 辆汽车可以全部租出. 如果每辆汽车的月租费每增加 50 元,那么将少租出 1 辆汽车. 另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费 200 元.
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费 3500 元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计 1850 元.
说明：①汽车数量为整数；②月利润= 月租车费一月维护费；③两公司月利润差= 月利润较高公司的利润一月利润较低公司的利润.
在甲、乙两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为 10 辆时,甲公司的月利润是
48000
元；当每个公司租出的汽车为37
辆时,两公司的月利润相等；(2)求甲、乙两公司月利润差的最大值；
解:设甲、乙两公司租出的汽车数量均为x辆,月利润分别为y甲元,y乙元,月利润差为y元,则y甲=[(50-x)×50+3000]x-200x,y乙=3500x-1850.当甲公司的月利润大于乙公司的月利润时,0＜x＜37,y=y甲-y乙=[(50-x)×50+3000]x-200x-(3500x-1850)=-50x²+1800x+1850,当x=-$\frac{1800}{-50×2}$=18时,y取得最大值,为18050;当乙公司的月利润大于甲公司的月利润时,37＜x≤50,y=y乙-y甲=3500x-1850-[(50-x)×50+3000]x+200x=50x²-1800x-1850,∵对称轴为直线x=-$\frac{-1800}{50×2}$=18,50＞0,∴当37＜x≤50时,y随x的增大而增大,∴当x=50时,y取得最大值,为33150.∵18050＜33150,∴甲、乙两公司月利润差的最大值为33150元.
(3)甲公司热心公益事业,每租出 1 辆汽车捐出 a 元$(a ＞ 0)$给慈善机构,如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,且当两公司租出的汽车均为 17 辆时,甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大,求 a 的取值范围.
解:∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,∴利润差为y=-50x²+1800x+1850-ax=-50x²+(1800-a)x+1850,对称轴为直线x=$\frac{1800-a}{100}$.∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,∴16.5＜$\frac{1800-a}{100}$＜17.5,解得50＜a＜150.
答案：
(1)48000 37
(2)解:设甲、乙两公司租出的汽车数量均为x辆,月利润分别为y甲元,y乙元,月利润差为y元,则y甲=[(50-x)×50+3000]x-200x,y乙=3500x-1850.当甲公司的月利润大于乙公司的月利润时,0＜x＜37,y=y甲-y乙=[(50-x)×50+3000]x-200x-(3500x-1850)=-50x²+1800x+1850,当x=-$\frac{1800}{-50×2}$=18时,y取得最大值,为18050;当乙公司的月利润大于甲公司的月利润时,37＜x≤50,y=y乙-y甲=3500x-1850-[(50-x)×50+3000]x+200x=50x²-1800x-1850,
∵对称轴为直线x=-$\frac{-1800}{50×2}$=18,50＞0,
∴当37＜x≤50时,y随x的增大而增大,
∴当x=50时,y取得最大值,为33150.
∵18050＜33150,
∴甲、乙两公司月利润差的最大值为33150元.
(3)解:
∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,
∴利润差为y=-50x²+1800x+1850-ax=-50x²+(1800-a)x+1850,对称轴为直线x=$\frac{1800-a}{100}$.
∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,
∴16.5＜$\frac{1800-a}{100}$＜17.5,解得50＜a＜150.
(1)48000 37
(2)解:设甲、乙两公司租出的汽车数量均为x辆,月利润分别为y甲元,y乙元,月利润差为y元,则y甲=[(50-x)×50+3000]x-200x,y乙=3500x-1850.当甲公司的月利润大于乙公司的月利润时,0＜x＜37,y=y甲-y乙=[(50-x)×50+3000]x-200x-(3500x-1850)=-50x²+1800x+1850,当x=-$\frac{1800}{-50×2}$=18时,y取得最大值,为18050;当乙公司的月利润大于甲公司的月利润时,37＜x≤50,y=y乙-y甲=3500x-1850-[(50-x)×50+3000]x+200x=50x²-1800x-1850,
∵对称轴为直线x=-$\frac{-1800}{50×2}$=18,50＞0,
∴当37＜x≤50时,y随x的增大而增大,
∴当x=50时,y取得最大值,为33150.
∵18050＜33150,
∴甲、乙两公司月利润差的最大值为33150元.
(3)解:
∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润,
∴利润差为y=-50x²+1800x+1850-ax=-50x²+(1800-a)x+1850,对称轴为直线x=$\frac{1800-a}{100}$.
∵x只能取整数,且当两公司租出的汽车均为17辆时,月利润之差最大,
∴16.5＜$\frac{1800-a}{100}$＜17.5,解得50＜a＜150.
1. 如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,在栅栏的跨径 $ AB $ 之间,按相同间隔 $ 0.2 $ 米用 $ 5 $ 根立柱加固,拱高 $ OC $ 为 $ 0.36 $ 米,则立柱 $ EF $ 的长为______米。
答案：
0.2 点拨:如答图，以点C为直角坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax²，则抛物线过点B(0.6,0.36)，
∴0.36=0.36a，解得a=1，即y=x²。
∵点F的横坐标为−0.4，
∴当x=−0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36−0.16=0.2(米)。故答案为0.2。
0.2 点拨:如答图，以点C为直角坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax²，则抛物线过点B(0.6,0.36)，
∴0.36=0.36a，解得a=1，即y=x²。
∵点F的横坐标为−0.4，
∴当x=−0.4时，y=0.16，
∴EF=0.36−0.16=0.2(米)。故答案为0.2。
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