《2025年启东中学作业本九年级数学上册人教版》

1. 方程$x^{4}-3x^{2}+2= 0$的解为$x=\pm \sqrt{2}$或$x=\pm 1$。

答案： 1.x=±√2或x=±1 点拨:设x²=y,则x⁴=y²,原方程可化为y²-3y+2=0,解得y₁=2,y₂=1.当x²=2时,x=±√2,当x²=1时,x=±1,
∴原方程的解为x=±√2或x=±1.

2. 阅读材料：解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$的过程如下：
设$x^{2}-1= y$,则原方程可化为$y^{2}-5y+4= 0$①,解得$y_{1}= 1,y_{2}= 4$。
当$y= 1$时,$x^{2}-1= 1$,解得$x= \pm \sqrt {2}$；当$y= 4$时,$x^{2}-1= 4$,解得$x= \pm \sqrt {5}$。
故原方程的解为$x_{1}= \sqrt {2},x_{2}= -\sqrt {2},x_{3}= \sqrt {5},x_{4}= -\sqrt {5}$。
由原方程得到①的过程,利用换元法达到了简化方程的目的,体现了整体转化的数学思想。
解答下列问题：
(1)利

用

换

元法解方程：$(x^{2}+x)^{2}+2(x^{2}+x)-8= 0$；
(2)已知$Rt\triangle ABC的三边长分别是a,b,c$,其中斜边长$c= 4$,两直角边长$a,b满足(a+b)^{2}-7(a+b)+10= 0$,求$Rt\triangle ABC$的周长和面积。

答案： 2.解:
(1)设y=x²+x,原方程变形为y²+2y-8=0,即(y+4)(y-2)=0,解得y₁=-4,y₂=2.当y=-4时,x²+x=-4,即x²+x+4=0,Δ=1-4×4＜0,此时方程无实数解;当y=2时,x²+x=2,即x²+x-2=0,解得x₁=-2,x₂=1.所以原方程的解为x₁=-2,x₂=1.
(2)设x=a+b,则原方程可化为x²-7x+10=0,解得x₁=2,x₂=5,即a+b=2或a+b=5,因为斜边长c=4,所以舍去a+b=2,所以a+b=5,所以Rt△ABC的周长为4+5=9.由勾股定理得a²+b²=4²,则(a+b)²-2ab=16,解得ab=9/2,所以Rt△ABC的面积为1/2ab=9/4.

3. (2023春·镇海区期末改编)若实数$x满足2(x^{2}-x)^{2}-x^{2}+x-6= 0$,求$x^{2}-x+1$的值。

答案： 3.解:设x²-x=y,则原方程可化为2y²-y-6=0,
∴(2y+3)(y-2)=0,
∴y₁=-3/2,y₂=2,
∴x²-x=-3/2或x²-x=2.当x²-x=-3/2,即x²-x+3/2=0时,Δ=1-6=-5＜0,原方程没有实数根,故不合题意,舍去;当x²-x=2,即x²-x-2=0时,Δ=1+8＞0,原方程有实数根.
∴x²-x+1=3.