《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

Hello! 亲爱的小伙伴,你知道笛卡儿吗? 笛卡儿是法国著名的哲学家、物理学家、数学家,他对现代数学的发展做出了重要的贡献,因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父. 在哲学方面,他留下了名言“我思故我在”,深深影响了之后的几代欧洲人,堪称 17 世纪欧洲哲学界和科学界最有影响力的巨匠之一,被誉为“近代科学的始祖”! 当然,笛卡儿最为人所知的伟业,就是他创立了著名的坐标系. 笛卡儿是怎样想到创建坐标系的呢?
有一天,笛卡儿生病卧床,但他的大脑一直没有休息,在反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢? 这里,关键是如何把组成几何图形的“点”和满足方程的每一组“数”挂上钩,他拼命琢磨. 突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬了上去,左、右拉丝. 蜘蛛的“表演”使笛卡儿豁然开朗,他想:如果把蜘蛛看作一个点,它在屋子里上、下、左、右运动,那么蜘蛛的每一个位置是不是都能用一组数确定下来呢? 他又想:屋子里相邻的两面墙与地面共交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三条数轴,那么空间中任意一点的位置不就可以用这三条数轴上找到的有序的三个数来表示吗? 反过来,任意给一组三个有序的数,例如 3,2,1,也可以用空间中的一个点 P 来表示. 同理,用一组数$(a,b)$可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组两个有序的数来表示. 就这样在蜘蛛运动的启发下,笛卡儿创建了坐标系.
不管这种说法的真实性如何,但有一点是可以肯定的,就是笛卡儿是个勤于思考的人,在创建坐标系的过程中,他很可能受到周围一些事物的启发,触发了灵感.
笛卡儿最初所使用的坐标系中,两个坐标轴的夹角不要求一定是直角,而且 y 轴并没有明显地出现. 至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词,也都是后来人们逐渐使用的. 虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善,但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义,所以人们仍然把后来的直角坐标系,叫作笛卡儿直角坐标系.
任务:
1. 从笛卡儿创建坐标系的过程来看,你有什么启发?
2. 借助网络或通过其他途径,了解有没有其他形式的坐标系.

答案： 1. 笛卡儿创建坐标系的过程给我们带来很多启发。首先，要有强烈的求知欲和探索精神，即便在身体不适的情况下，笛卡儿也没有停止思考问题，始终专注于寻找几何图形和代数方程之间的联系。其次，要善于观察生活，从生活中的常见现象中获取灵感，就像蜘蛛的运动启发笛卡儿想到用数来确定点的位置。最后，要敢于突破传统思维，勇于创新，当遇到难题时，积极尝试新的方法和思路去解决问题。
2. 除了笛卡儿直角坐标系，还有其他形式的坐标系，例如：
极坐标系：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
球坐标系：设空间中一点M，用r表示原点O与点M间的距离，θ表示有向线段OM与z轴正向的夹角，φ表示从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M在xOy面上的投影。这样，点M的位置就可以用有序数组(r,θ,φ)表示，这种坐标系就叫做球坐标系。
柱坐标系：设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为(r,θ)，则这样的三个数r、θ、z就叫点M的柱面坐标，这里规定r、θ、z的变化范围为：0 ≤ r ＜ +∞，0 ≤ θ ≤ 2π，-∞ ＜ z ＜ +∞ 。