《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

5.如果一个未知数的值能使方程(组)与不等式(组)同时成立,那么称它为此方程(组)与不等式(组)的“理想解”。例如：已知方程$2x - 1 = 1与不等式x + 1 ＞ 0$,当$x = 1$时,$2x - 1 = 2×1 - 1 = 1$,$1 + 1 = 2 ＞ 0$同时成立,则称“$x = 1$”是方程$2x - 1 = 1与不等式x + 1 ＞ 0$的“理想解”。
(1)请判断方程$2x - 3 = 5$的解是此方程与以下哪些不等式(组)的“理想解”：____①③(直接填写序号)；
①$2x + 3 ＞ 3x - 2$；②$3(x + 1) ≤ 6$；③$\begin{cases}x + 1 ＞ 0;\\x - 1 ≤ 3.\end{cases} $
(2)若$\begin{cases}x = m,\\y = n\end{cases} 是方程组$\begin{cases} x-3y=6,\\ 2x-y=3q\end{cases}$与不等式x + 2y ＜ 1$的“理想解”,求q的取值范围。$q＜\frac {7}{3}$

答案： 5.
(1)①③
(2)将$\left\{\begin{array}{l} x=m,\\ y=n\end{array}\right. $代入方程组$\left\{\begin{array}{l} x-3y=6,\\ 2x-y=3q,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} m-3n=6,①\\ 2m-n=3q.②\end{array}\right. $
②-①,得$m+2n=3q-6$.
又由题意,得$m+2n＜1$.
$\therefore$ $3q-6＜1$.
$\therefore$ $q＜\frac {7}{3}$.