《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

4. 如图,$∠ABD和∠BDC$的平分线交于点E,BE交CD于点F,$∠1 + ∠2 = 90^{\circ}$。
(1)求证：$AB// CD$；
证明：$\because DE$平分$∠BDC$,
$\therefore ∠BDC=2∠2$.
$\because BE$平分$∠ABD$,
$\therefore ∠ABD=2∠1$.
$\therefore ∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)$.
$\because ∠1+∠2=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ABD+∠BDC=2×90^{\circ }=180^{\circ }$.
$\therefore AB// CD$.
(2)试探究$∠2与∠3$的数量关系,并说明理由。
$∠2+∠3=90^{\circ }$
理由:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ABF=∠3$.
$\because BF$平分$∠ABD$,
$\therefore ∠ABF=∠1$.
$\therefore ∠1=∠3$.
$\because ∠1+∠2=90^{\circ }$,
$\therefore ∠2+∠3=90^{\circ }$.

答案：
(1)$\because DE$平分$∠BDC$,
$\therefore ∠BDC=2∠2$.
$\because BE$平分$∠ABD$,
$\therefore ∠ABD=2∠1$.
$\therefore ∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)$.
$\because ∠1+∠2=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ABD+∠BDC=2×90^{\circ }=180^{\circ }$.
$\therefore AB// CD$.
(2)$∠2+∠3=90^{\circ }$.
理由:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ABF=∠3$.
$\because BF$平分$∠ABD$,
$\therefore ∠ABF=∠1$.
$\therefore ∠1=∠3$.
$\because ∠1+∠2=90^{\circ }$,
$\therefore ∠2+∠3=90^{\circ }$.

5. 阅读下列第(1)题的解答过程,在括号中填理由,并根据(1)的提示解答第(2)(3)题。
(1)已知：如图①,$AB// CD$,P为AB,CD之间一点,求$∠B + ∠C + ∠BPC$的大小。
解：如图①,过点P作$PM// AB$。
∵ $AB// CD$(已知),
∴ $PM// CD$(______)。
∴ $∠B + ∠1 = 180^{\circ}$(______),
$∠C + ∠2 = 180^{\circ}$(______)。
∵ $∠BPC = ∠1 + ∠2$,
∴ $∠B + ∠C + ∠BPC = 360^{\circ}$。
(2)我们在生活中经常接触小刀,小刀刀柄外形是一个直角梯形(挖去一个小半圆,如图②),刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成$∠1和∠2$,那么$∠1 + ∠2$的大小是否会随刀片的转动而改变？请说明理由。

(3)小明到工厂进行社会实践活动时,发现工人师傅生产了一种如图③所示的零件,要求$AB// CD$,$∠BAE = 35^{\circ}$,$∠AED = 90^{\circ}$。小明发现工人师傅量出$∠BAE = 35^{\circ}$,$∠AED = 90^{\circ}$后,又量了$∠EDC = 55^{\circ}$,于是他就说AB与CD肯定是平行的,你知道原因吗？

答案：

(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 两直线平行,同旁内角互补 两直线平行,同旁内角互补
(2)$∠1+∠2=90^{\circ }$,其大小不会随刀片的转动而改变.
理由:如图①,过点 E 作$EF// AB$.
$\because AB// CD$,$\therefore AB// EF// CD$.
$\therefore ∠3=∠1$,$∠4=∠2$.
$\because ∠AEC=90^{\circ }$,即$∠3+∠4=90^{\circ }$,
$\therefore ∠1+∠2=90^{\circ }$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)如图②,过点 E 作$EF// AB$,则$∠BAE=∠AEF=35^{\circ }$.
$\because ∠AED=90^{\circ }$,
$\therefore ∠FED=∠AED-∠AEF=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$.
$\because ∠EDC=55^{\circ }$,
$\therefore ∠FED=∠EDC$.
$\therefore EF// DC$.
又$\because EF// AB$,
$\therefore AB// CD$.