《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

2. 如图,直线$OM⊥ON$,垂足为O,三角尺的直角顶点C落在$∠MON$的内部,三角尺的两条直角边分别与ON,OM交于点D,B。

(1)填空：$∠OBC + ∠ODC = $______；
(2)如图①,若DE平分$∠ODC$,BF平分$∠CBM$,求证：$DE⊥BF$。
(3)如图②,若BF,DG分别平分$∠CBM$,$∠NDC$,判断BF与DG的位置关系,并说明理由。

答案：

(1)$180^{\circ }$
(2)如图①,延长 DE 交 BF 于点 H.
$\because ∠OBC+∠ODC=180^{\circ },∠OBC+∠CBM=180^{\circ },$
$\therefore ∠ODC=∠CBM.$
$\because DE$平分$∠ODC$,$BF$平分$∠CBM$,
$\therefore ∠CDE=\frac {1}{2}∠ODC$,$∠FBE=\frac {1}{2}∠CBM$.
$\therefore ∠CDE=∠FBE$.
$\because ∠DEC=∠BEH$,
$\therefore ∠BHE=∠C$.
$\because ∠C=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BHE=90^{\circ }$.
$\therefore DE⊥BF$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)$DG// BF$. 理由如下:
如图②,作$CQ// BF$,
$\therefore ∠FBC=∠BCQ$.
$\because ∠OBC+∠ODC=180^{\circ }$,
$\therefore ∠CBM+∠NDC=180^{\circ }$.
$\because BF$,$DG$分别平分$∠CBM$,$∠NDC$,
$\therefore ∠GDC=\frac {1}{2}∠NDC$,$∠FBC=\frac {1}{2}∠CBM$.
$\therefore ∠GDC+∠FBC=\frac {1}{2}∠NDC+\frac {1}{2}∠CBM=90^{\circ }$.
$\because ∠BCD=90^{\circ }$,
$\therefore ∠BCQ+∠DCQ=90^{\circ }$.
$\therefore ∠DCQ=∠GDC$.
$\therefore CQ// DG$.
$\therefore BF// DG$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3. [提出问题]若两个角的两边分别平行,则这两个角有怎样的数量关系？
[解决问题]分两种情况进行探究：
(1)如图①,$AB// EF$,$BC// DE$,试说明：$∠1 = ∠2$；
$\because AB// EF$,
$\therefore ∠1=∠3$.
又$\because BC// DE$,
$\therefore ∠2=∠3$.
$\therefore ∠1=∠2$.
(2)如图②,$AB// EF$,$BC// DE$,试说明：$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$；
$\because AB// EF$,
$\therefore ∠1=∠3$.
又$\because BC// DE$,
$\therefore ∠2+∠3=180^{\circ }$.
$\therefore ∠1+∠2=180^{\circ }$.
[得出结论](3)由(1)(2)我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行,则这两个角的数量关系为相等或互补；
[拓展应用]
(4)若两个角的两边分别平行,其中一个角比另一个角的2倍少$60^{\circ}$,求这两个角的度数；
这两个角的度数分别是$60^{\circ }$,$60^{\circ }$或$80^{\circ }$,$100^{\circ }$.
(5)同一平面内,若两个角的两边分别垂直,则这两个角的数量关系为相等或互补。

答案：
(1)$\because AB// EF$,
$\therefore ∠1=∠3$.
又$\because BC// DE$,
$\therefore ∠2=∠3$.
$\therefore ∠1=∠2$.
(2)$\because AB// EF$,
$\therefore ∠1=∠3$.
又$\because BC// DE$,
$\therefore ∠2+∠3=180^{\circ }$.
$\therefore ∠1+∠2=180^{\circ }$.
(3)相等或互补
(4)这两个角的度数分别是$60^{\circ }$,$60^{\circ }$或$80^{\circ }$,$100^{\circ }$.
(5)相等或互补