《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

2.对x,y定义一种新运算T。规定：$T(x,y) = \frac{ax + by}{2x + y}$(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算。例如：$T(0,1) = \frac{a×0 + b×1}{2×0 + 1} = b$。已知$T(1, - 1) = - 2$,$T(4,2) = 1$。
(1)求a,b的值；
a的值为1，b的值为3。
(2)若关于m的不等式组$\begin{cases}T(2m,5 - 4m) ≤ 4,\\T(m,3 - 2m) ＞ p\end{cases} $恰好有3个整数解,求实数p的取值范围。
实数p的取值范围为$-2≤p＜-\frac {1}{3}$。

答案： 2.
(1)根据题意,得$T(1,-1)=\frac {a-b}{2-1}=-2$,即$a-b=-2$. ①
$T(4,2)=\frac {4a+2b}{8+2}=1$,即$2a+b=5$. ②
由①②,得$\left\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=3.\end{array}\right. $
故$a$的值为 1,$b$的值为 3.
(2)根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} \frac {2m+3(5-4m)}{4m+5-4m}≤4,①\\ \frac {m+3(3-2m)}{2m+3-2m}＞p.②\end{array}\right. $
解不等式①,得$m≥-\frac {1}{2}$;解不等式②,得$m＜\frac {9-3p}{5}$.
$\therefore$ 不等式组的解集为$-\frac {1}{2}≤m＜\frac {9-3p}{5}$.
$\because$ 不等式组恰好有 3 个整数解,
$\therefore$ $m$的值为 0,1,2.
$\therefore$ $2＜\frac {9-3p}{5}≤3$. 解得$-2≤p＜-\frac {1}{3}$.
故实数$p$的取值范围为$-2≤p＜-\frac {1}{3}$.