《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

1. 下面是小华解方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 1, & ①\\4x - y = -6 & ②\end{cases} $ 的过程,请你观察计算过程,回答下列问题.
解:②×2,得 $8x - 2y = -6$. ③ (1)
①+③,得 $11x = -7$. (2)
解得 $x = -\frac{7}{11}$.
将 $x = -\frac{7}{11}$ 代入②,得 $y = \frac{38}{11}$. (3)
所以该方程组的解是 $\begin{cases}x = -\frac{7}{11},\\y = \frac{38}{11}.\end{cases} $ (4)
(1)以上过程有两处关键性错误,第一次出错在第(1)步(填序号),第二次出错在第(2)步(填序号);
(2)请你帮小华写出正确的解题过程.
解:②×2,得 $8x - 2y = -12$. ③
③+①,得 $11x = -11$.
解得 $x = -1$.
将 $x = -1$ 代入②,得 $y = 2$.
所以原方程组的解为
$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$

答案：
(1)
(1)
(2)
(2)②×2,得 $8x - 2y = -12$. ③
③+①,得 $11x = -11$.
解得 $x = -1$.
将 $x = -1$ 代入②,得 $y = 2$.
所以原方程组的解为
$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$

2. [阅读感悟]
一些关于方程组的问题,若求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的式子的值,如以下问题:已知实数 x,y 满足 $3x - y = 5$ ①,$2x + 3y = 7$ ②,求 $x - 4y$ 和 $7x + 5y$ 的值. 本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得 x,y 的值,再代入欲求值的式子得到答案. 常规思路运算量比较大. 其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得式子的值,如由①-②可得 $x - 4y = -2$,由①+②×2 可得 $7x + 5y = 19$. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
[解决问题]
(1)已知二元一次方程组 $\begin{cases}3x + y = 4,\\x + 3y = 12,\end{cases} $ 则 $x - y = $-4,$x + y = $4.
(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品,买 5 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本共需 32 元,买 9 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元,则购买 20 支铅笔、20 块橡皮、20 本日记本共需多少元?
(3)对于实数 x,y,定义新运算:$x * y = ax + by + c$,其中 a,b,c 是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算. 已知 $1 * 4 = 16$,$1 * 5 = 21$,求 $1 * 1$ 的值.

答案：
(1)-4 4
(2)设 1 支铅笔 x 元,1 块橡皮 y 元,1 本日记本 z 元.
根据题意,得
$\begin{cases}5x + 3y + 2z = 32, &① \\9x + 5y + 3z = 58, &②\end{cases}$
①×2 - ②,得 $x + y + z = 6$.
$\therefore 20x + 20y + 20z = 20(x + y + z) = 20×6 = 120.$
答:购买 20 支铅笔、20 块橡皮、20 本日记本共需 120 元.
(3)
∵ $x * y = ax + by + c$, $1 * 4 = 16$, $1 * 5 = 21$,
$\therefore \begin{cases}a + 4b + c = 16, &① \\a + 5b + c = 21. &②\end{cases}$
② - ①,得 $b = 5$.
$\therefore a + c = 16 - 4b = -4.$
$\therefore a + b + c = 1.$
$\therefore 1 * 1 = a + b + c = 1.$