《2025年新课程暑假作业本山西教育出版社七年级综合B版》

5. 阅读以下内容:
已知实数 x,y 满足 $x + y = 2$,且 $\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2,\\2x + 3y = 6,\end{cases} $ 求 k 的值.
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路:
甲同学:先解关于 x,y 的方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2,\\2x + 3y = 6,\end{cases} $ 再求 k 的值.
乙同学:先将方程组中的两个方程相加,再求 k 的值.
丙同学:先解方程组 $\begin{cases}x + y = 2,\\2x + 3y = 6,\end{cases} $ 再求 k 的值.
你最欣赏哪位同学的解题思路? 先根据你所选的思路解答此题,再对你选择的思路进行简要评价.
(评价参考建议:基于观察到题目的什么特征设计的相应思路,如何操作才能实现这些思路、运算的简洁性,以及你依此可以总结什么解题策略,等等)
我最欣赏乙同学的解题思路。
解答过程：将方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2\\2x + 3y = 6\end{cases}$中的两个方程相加，可得$(3x + 2y)+(2x + 3y)=(7k - 2)+6$，即$5x + 5y = 7k + 4$，提取公因式得$5(x + y)=7k + 4$。因为$x + y = 2$，所以$5×2 = 7k + 4$，$10 = 7k + 4$，解得$7k = 6$，$k=$$\frac{6}{7}$。
评价：设计思路的依据是观察到方程组中$x$、$y$系数的对称性，相加后能得到$x + y$的倍数，且已知$x + y$的值；操作实现方式是直接将两个方程相加，提取公因式后代入已知条件；运算简洁性高，避免了求解$x$、$y$的具体值；解题策略总结为当方程组中未知数系数有对称性且已知未知数关系时，可通过方程相加或相减构造已知关系形式简化计算。

答案： 【解析】：
### 选择乙同学的思路
观察到方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2\\2x + 3y = 6\end{cases}$中$x$与$y$的系数有一定的对称性，将两个方程相加可以得到$x + y$的倍数形式，而题目中已知$x + y = 2$，这样就能简便地求出$k$的值。
操作过程如下：
将方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2\\2x + 3y = 6\end{cases}$中的两个方程相加，可得：
$(3x + 2y)+(2x + 3y)=(7k - 2)+6$
$5x + 5y = 7k + 4$
提取公因式$5$得：$5(x + y)=7k + 4$
因为$x + y = 2$，把$x + y = 2$代入$5(x + y)=7k + 4$中，得到：
$5×2 = 7k + 4$
$10 = 7k + 4$
移项可得：$7k = 10 - 4$
$7k = 6$
解得：$k=\frac{6}{7}$
### 评价
- **设计思路的依据**：观察到方程组中两个方程$x$、$y$系数的特点，即$x$的系数$3$与$2$，$y$的系数$2$与$3$，相加后能得到$x + y$的倍数，且已知$x + y$的值，所以想到将两个方程相加来简化计算。
- **操作实现方式**：直接将方程组中的两个方程等号左右两边分别相加，然后通过提取公因式得到$x + y$的形式，再代入已知条件求解$k$。
- **运算简洁性**：这种方法避免了先求解$x$、$y$的具体值，减少了计算步骤，运算过程相对简洁。
- **解题策略总结**：当方程组中未知数的系数有一定的对称性，且已知未知数之间的某种关系时，可以考虑将方程组中的方程进行相加或相减等运算，构造出已知关系的形式，从而简化计算。
### 选择甲同学的思路
观察到要求$k$的值，可先求出$x$、$y$关于$k$的表达式，再结合$x + y = 2$来求解$k$。
操作过程如下：
对于方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2&(1)\\2x + 3y = 6&(2)\end{cases}$
$(1)×3-(2)×2$得：
$\begin{aligned}3(3x + 2y)-2(2x + 3y)&=3(7k - 2)-2×6\\9x + 6y - 4x - 6y&=21k - 6 - 12\\5x&=21k - 18\\x&=\frac{21k - 18}{5}\end{aligned}$
把$x = \frac{21k - 18}{5}$代入$(2)$式得：
$\begin{aligned}2×\frac{21k - 18}{5}+3y&=6\\frac{42k - 36}{5}+3y&=6\\42k - 36 + 15y&=30\\15y&=30 + 36 - 42k\\15y&=66 - 42k\\y&=\frac{66 - 42k}{15}=\frac{22 - 14k}{5}\end{aligned}$
因为$x + y = 2$，所以$\frac{21k - 18}{5}+\frac{22 - 14k}{5}=2$
$\frac{21k - 18 + 22 - 14k}{5}=2$
$\frac{7k + 4}{5}=2$
$7k + 4 = 10$
$7k = 6$
解得$k=\frac{6}{7}$
### 评价
- **设计思路的依据**：根据常规的解题方法，对于含有多个未知数的方程组，先求出未知数的表达式，再代入已知条件求解其他未知数。
- **操作实现方式**：通过消元法（这里用的是加减消元法）求出$x$、$y$关于$k$的表达式，再代入$x + y = 2$求解$k$。
- **运算简洁性**：这种方法计算过程相对复杂，涉及到较多的分式运算和方程求解步骤，容易出错。
- **解题策略总结**：当方程组中未知数关系不明显，没有特殊的系数特征时，可以采用常规的消元法求解未知数的表达式，再结合其他条件求解。
### 选择丙同学的思路
观察到已知$x + y = 2$，方程组中有$2x + 3y = 6$，可以先求解$x$、$y$的值，再代入含$k$的方程求$k$。
操作过程如下：
对于方程组$\begin{cases}x + y = 2&(1)\\2x + 3y = 6&(2)\end{cases}$
由$(1)$式得$x = 2 - y$，将其代入$(2)$式得：
$2(2 - y)+3y = 6$
$4 - 2y + 3y = 6$
$y = 6 - 4 = 2$
把$y = 2$代入$x = 2 - y$得$x = 2 - 2 = 0$
把$x = 0$，$y = 2$代入$3x + 2y = 7k - 2$得：
$3×0 + 2×2 = 7k - 2$
$4 = 7k - 2$
$7k = 6$
解得$k=\frac{6}{7}$
### 评价
- **设计思路的依据**：已知$x + y$的值，且方程组中有一个方程不含$k$，可以先求解$x$、$y$的值，再代入含$k$的方程求解$k$。
- **操作实现方式**：采用代入消元法求解$x$、$y$的值，再代入含$k$的方程。
- **运算简洁性**：这种方法需要先求解$x$、$y$的值，计算过程有一定的步骤，相对乙同学的方法不够简洁。
- **解题策略总结**：当已知部分未知数关系且方程组中有不含所求参数的方程时，可以先求解这部分未知数的值，再代入含参数的方程求解参数。
【答案】：若选择乙同学的思路，$k=\frac{6}{7}$；若选择甲同学的思路，$k=\frac{6}{7}$；若选择丙同学的思路，$k=\frac{6}{7}$。