《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学北师大版》

13. 先化简$(\frac {3}{x+1}-x+1)÷\frac {x^{2}-4x+4}{x+1}$,然后从$-1≤x≤2$中选一个合适的整数作为$x$的值代入求值.

答案： 原式 $= -\frac{x + 2}{x - 2}$，
由 $-1 \leq x \leq 2$，且 $x$ 为整数，
$\therefore x$ 可取 $-1$，0，1，2.
又 $\because x + 1 \neq 0$，且 $x - 2 \neq 0$，
$\therefore x = 0$ 或 $x = 1$.
当 $x = 0$ 时，原式 $= 1$；
当 $x = 1$ 时，原式 $= 3$.

14. 观察下面的变形规律:
$\frac {1}{1×2}=1-\frac {1}{2};\frac {1}{2×3}=\frac {1}{2}-\frac {1}{3};\frac {1}{3×4}=\frac {1}{3}-\frac {1}{4};... .$
解答下面的问题:
(1)若$n$为正整数,请你猜想:$\frac {1}{n(n+1)}=$$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$;
(2)证明你猜想的结论;
(3)计算:$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{2019×2020}$.

答案：
(1) $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$
(2) 证明：$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 1)} - \frac{n}{n(n + 1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n + 1)} = \frac{1}{n(n + 1)}$.
(3) 原式 $= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2020} = \frac{2019}{2020}$.
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