《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学北师大版》

11. 如图，点$E$，$F$在$BC$上，$BE=CF$，$\angle A=\angle D$，$\angle B=\angle C$，$AF$与$DE$相交于点$O$。
（1）求证：$AB=DC$；
证明：∵$BE=CF$，∴$BE+EF=CF+EF$，即$BF=CE$。在$\triangle ABF$和$\triangle DCE$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\\angle B=\angle C\\BF=CE\end{cases}$，∴$\triangle ABF\cong\triangle DCE$（AAS），∴$AB=DC$。
（2）试判断$\triangle OEF$的形状，并说明理由。
等腰三角形，理由如下：由（1）知$\triangle ABF\cong\triangle DCE$，∴$\angle AFB=\angle DEC$，∴$OE=OF$，∴$\triangle OEF$是等腰三角形。

答案： 提示：（1）证明$\triangle ABF\cong \triangle DCE$（AAS）.
（2）证明$OE=OF$.

12. 用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角。

答案： 已知：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$.
求证：$∠B$与$∠C$为锐角.
证明：在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，则$∠B=∠C$.假设等腰三角形ABC的底角$∠B$为钝角或直角，则有$∠B+∠C≥180^{\circ }$，$∠B+∠C+∠A＞180^{\circ }$.
这与三角形的内角和等于$180^{\circ }$相矛盾，所以假设不成立.
因此等腰三角形的底角必为锐角.

猜人数
下面这首诗出自清朝数学家徐子云的著作，请算出诗中有多少僧人。
巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。
三百六十四只碗，堪堪用尽不差争。
三人共食一只碗，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧？

答案： 解答：三人共食一只碗，则吃饭时一人用三分之一个碗；四人共吃一碗羹，则吃羹时一人用四分之一个碗。两项合计，则每人用$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$（个）碗。设寺内共有僧人$x$人，依题意得$\frac{7}{12}x=364$，解得$x=624$。