《2025年快乐假期暑假作业延边教育出版社八年级数学北师大版》

8. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\triangle ABC$的外角$\angle ACE = 100^{\circ}$，则$\angle A =$$50^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$

9. 如图，已知$\triangle ABC$是等边三角形，点$B$，$C$，$D$，$E$在同一条直线上，且$CG = CD$，$DF = DE$，则$\angle E =$15度

答案： 15

10. 如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形的边长为$2\ cm$时，这个六边形的周长为60cm。

答案： $60cm$

11. 如图，$\angle ABC = \angle DCB$，$BD$，$CA$分别是$\angle ABC$，$\angle DCB$的平分线，求证：$AB = DC$。
证明：$\because AC$平分$\angle DCB$，$BD$平分$\angle ABC$，$\angle ABC=\angle DCB$，
$\therefore \angle ACB=\angle DBC$。
在$\triangle ABC$与$\triangle DCB$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ABC=\angle DCB,\\ BC=CB,\\ \angle ACB=\angle DBC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DCB$(ASA)，
$\therefore AB=DC$。

答案： 证明：$\because AC$平分$\angle DCB$，$BD$平分$\angle ABC$，$\angle ABC=\angle DCB$，
$\therefore \angle ACB=\angle DBC$。
在$\triangle ABC$与$\triangle DCB$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ABC=\angle DCB,\\ BC=CB,\\ \angle ACB=\angle DBC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle DCB(ASA)$，
$\therefore AB=DC$。

12. 如图，点$B$是$AC$上一点，$\triangle ABD$和$\triangle DCE$都是等边三角形，求证：$AC = BE$。
证明：$\because \triangle ABD$和$\triangle DCE$都是等边三角形，$\therefore \angle ADB=\angle CDE=60^{\circ}$，$AD=BD$，$CD=ED$，$\therefore \angle ADB+\angle BDC=\angle CDE+\angle BDC$，即$\angle ADC=\angle BDE$，$\therefore \triangle ADC\cong \triangle BDE$。$\therefore AC=BE$。

答案： 证明：$\because \triangle ABD$和$\triangle DCE$都是等边三角形，
$\therefore \angle ADB=\angle CDE=60^{\circ}$，
$AD=BD$，$CD=ED$，
$\therefore \angle ADB+\angle BDC=\angle CDE+\angle BDC$，
即$\angle ADC=\angle BDE$，
$\therefore \triangle ADC\cong \triangle BDE$。
$\therefore AC=BE$。

13. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，点$D$是边$BC$上（除点$B$，$C$外）的任意一点，$\angle ADE = 60^{\circ}$，且$DE$交$\angle ACF$的平分线$CE$于点$E$。求证：
（1）$\angle 1 = \angle 2$；
（2）$AD = DE$。

答案： 证明：
(1)$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\angle ADE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE=\angle B=60^{\circ}$，
$\angle ADC=\angle 2+\angle ADE=\angle 1+\angle B$，
$\therefore \angle 1=\angle 2$。
(2)在$AB$上取一点$M$，使$BM=BD$，连接$MD$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB=BC$，$\angle B=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BMD$是等边三角形，$\angle BMD=60^{\circ}$，$\angle AMD=120^{\circ}$。
$\because CE$是$\angle ACF$的平分线，
$\therefore \angle ECA=60^{\circ}$，$\angle DCE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AMD=\angle DCE$。
又$\because AB=BC$，
$\therefore BA - MB=BC - BD$，
即$MA=CD$。
在$\triangle AMD$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle 1=\angle 2,\\ AM=DC,\\ \angle AMD=\angle DCE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AMD\cong \triangle DCE(ASA)$，
$\therefore AD=DE$。