《2025年育才课堂探究册七年级数学上册北师大版》

例3 已知多项式$(2mx^{2}+5x^{2}+3x+1)-(6x^{2}-4y^{2}+3x)化简后不含x^{2}$项.求:
(1)m的值;
(2)多项式$2m^{3}-(4m-5)$的值.
解:(1)$(2mx^{2}+5x^{2}+3x+1)-(6x^{2}-4y^{2}+3x)$
$=2mx^{2}+5x^{2}+3x+1-6x^{2}+4y^{2}-3x$
$=(2m-1)x^{2}+1+4y^{2}$,
∵不含$x^{2}$项,∴$2m-1= 0$,解得:$m= \frac{1}{2}$;
(2)当$m= \frac{1}{2}$时,$2m^{3}-(4m-5)= 2×(\frac{1}{2})^{3}-(4×\frac{1}{2}-5)= 2×\frac{1}{8}-(2-5)= \frac{1}{4}+3= 3\frac{1}{4}$.

答案：

例3 已知多项式$(2mx^{2}+5x^{2}+3x+1)-(6x^{2}-4y^{2}+3x)化简后不含x^{2}$项.求:
(1)m的值;
(2)多项式$2m^{3}-(4m-5)$的值.
解:(1)$(2mx^{2}+5x^{2}+3x+1)-(6x^{2}-4y^{2}+3x)$
$=2mx^{2}+5x^{2}+3x+1-6x^{2}+4y^{2}-3x$
$=(2m-1)x^{2}+1+4y^{2}$,
∵不含$x^{2}$项,∴$2m-1= 0$,解得:$m= \frac{1}{2}$;
(2)当$m= \frac{1}{2}$时,$2m^{3}-(4m-5)= 2×(\frac{1}{2})^{3}-(4×\frac{1}{2}-5)= 2×\frac{1}{8}-(2-5)= \frac{1}{4}+3= 3\frac{1}{4}$.

答案：

例3 已知多项式$(2mx^{2}+5x^{2}+3x+1)-(6x^{2}-4y^{2}+3x)化简后不含x^{2}$项.求:
(1)m的值;
(2)多项式$2m^{3}-(4m-5)$的值.
解:(1)$(2mx^{2}+5x^{2}+3x+1)-(6x^{2}-4y^{2}+3x)$
$=2mx^{2}+5x^{2}+3x+1-6x^{2}+4y^{2}-3x$
$=(2m-1)x^{2}+1+4y^{2}$,
∵不含$x^{2}$项,∴$2m-1= 0$,解得:$m= \frac{1}{2}$;
(2)当$m= \frac{1}{2}$时,$2m^{3}-(4m-5)= 2×(\frac{1}{2})^{3}-(4×\frac{1}{2}-5)= 2×\frac{1}{8}-(2-5)= \frac{1}{4}+3= 3\frac{1}{4}$.

答案：

例4 有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,且$|a|= |c|$.

(1)用"＜"把a,b,-b,c连接起来;
(2)化简:$|a|+|2b|-|b-a|-|c-b|+|a+b|$.
解:(1)由图可得:$c＜b＜0＜a,|a|= |c|$,则$c＜b＜0＜-b＜a$
∴$c＜b＜-b＜a$.
(2)∵$c＜b＜0＜-b＜a$,
∴$2b＜0,b-a＜0,c-b＜0,a+b＞0$,
∴$|a|+|2b|-|b-a|-|c-b|+|a+b|= a-2b+b-a+c-b+a+b= a-b+c$.

答案：

例4 有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,且$|a|= |c|$.

(1)用"＜"把a,b,-b,c连接起来;
(2)化简:$|a|+|2b|-|b-a|-|c-b|+|a+b|$.
解:(1)由图可得:$c＜b＜0＜a,|a|= |c|$,则$c＜b＜0＜-b＜a$
∴$c＜b＜-b＜a$.
(2)∵$c＜b＜0＜-b＜a$,
∴$2b＜0,b-a＜0,c-b＜0,a+b＞0$,
∴$|a|+|2b|-|b-a|-|c-b|+|a+b|= a-2b+b-a+c-b+a+b= a-b+c$.

答案：

例4 有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,且$|a|= |c|$.

(1)用"＜"把a,b,-b,c连接起来;
(2)化简:$|a|+|2b|-|b-a|-|c-b|+|a+b|$.
解:(1)由图可得:$c＜b＜0＜a,|a|= |c|$,则$c＜b＜0＜-b＜a$
∴$c＜b＜-b＜a$.
(2)∵$c＜b＜0＜-b＜a$,
∴$2b＜0,b-a＜0,c-b＜0,a+b＞0$,
∴$|a|+|2b|-|b-a|-|c-b|+|a+b|= a-2b+b-a+c-b+a+b= a-b+c$.

答案：

例5 若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,则A,B两点之间的距离$AB= |a-b|$.利用数形结合思想解答下列问题:
(1)数轴上表示数1和-3的两点之间的距离为_____;
(2)数轴上表示数x和-2的两点之间的距离为_____;
(3)若x表示一个有理数,且$-3＜x＜1$,则$|x-1|+|x+3|= $_____;
(4)求满足等式$|x-1|+|x+3|= 4$的所有整数x的和.
解:(1)∵1和-3的两点之间的距离是:$|1-(-3)|= 4$,
∴数轴上表示1和-3的两点之间的距离是:4.
(2)∵x和-2的两点之间的距离为:$|x-(-2)|= |x+2|$,
∴数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为:$|x+2|$.
(3)∵$-3＜x＜1$,∴$|x-1|+|x+3|= 1-x+x+3= 4$.
(4)∵x为整数,∴$x= -3,-2,-1,0,1$.
∴符合题意的所有整数x的和为$(-3)+(-2)+(-1)+0+1= -3-2-1+1= -5$.

答案： 4 |x+2| 4

例5 若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,则A,B两点之间的距离$AB= |a-b|$.利用数形结合思想解答下列问题:
(1)数轴上表示数1和-3的两点之间的距离为_____;
(2)数轴上表示数x和-2的两点之间的距离为_____;
(3)若x表示一个有理数,且$-3＜x＜1$,则$|x-1|+|x+3|= $_____;
(4)求满足等式$|x-1|+|x+3|= 4$的所有整数x的和.
解:(1)∵1和-3的两点之间的距离是:$|1-(-3)|= 4$,
∴数轴上表示1和-3的两点之间的距离是:4.
(2)∵x和-2的两点之间的距离为:$|x-(-2)|= |x+2|$,
∴数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为:$|x+2|$.
(3)∵$-3＜x＜1$,∴$|x-1|+|x+3|= 1-x+x+3= 4$.
(4)∵x为整数,∴$x= -3,-2,-1,0,1$.
∴符合题意的所有整数x的和为$(-3)+(-2)+(-1)+0+1= -3-2-1+1= -5$.

答案： 4 |x+2| 4

例5 若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,则A,B两点之间的距离$AB= |a-b|$.利用数形结合思想解答下列问题:
(1)数轴上表示数1和-3的两点之间的距离为_____;
(2)数轴上表示数x和-2的两点之间的距离为_____;
(3)若x表示一个有理数,且$-3＜x＜1$,则$|x-1|+|x+3|= $_____;
(4)求满足等式$|x-1|+|x+3|= 4$的所有整数x的和.
解:(1)∵1和-3的两点之间的距离是:$|1-(-3)|= 4$,
∴数轴上表示1和-3的两点之间的距离是:4.
(2)∵x和-2的两点之间的距离为:$|x-(-2)|= |x+2|$,
∴数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为:$|x+2|$.
(3)∵$-3＜x＜1$,∴$|x-1|+|x+3|= 1-x+x+3= 4$.
(4)∵x为整数,∴$x= -3,-2,-1,0,1$.
∴符合题意的所有整数x的和为$(-3)+(-2)+(-1)+0+1= -3-2-1+1= -5$.

答案： 4 |x+2| 4

变式3 (1)已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示,其中O为原点,化简:$|b-a|-|2a-b|+|a-c|-|c|$;

解:∵$c＜b＜0＜a$,∴$b-a＜0,2a-b＞0,a-c＞0$,
∴$|b-a|-|2a-b|+|a-c|-|c|= -(b-a)-(2a-b)+(a-c)-(-c)= -b+a-2a+b+a-c+c= 0$.

答案：

变式3 (1)已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示,其中O为原点,化简:$|b-a|-|2a-b|+|a-c|-|c|$;

解:∵$c＜b＜0＜a$,∴$b-a＜0,2a-b＞0,a-c＞0$,
∴$|b-a|-|2a-b|+|a-c|-|c|= -(b-a)-(2a-b)+(a-c)-(-c)= -b+a-2a+b+a-c+c= 0$.

答案：

变式3 (1)已知a,b,c三个数在数轴上对应点的位置如图所示,其中O为原点,化简:$|b-a|-|2a-b|+|a-c|-|c|$;

解:∵$c＜b＜0＜a$,∴$b-a＜0,2a-b＞0,a-c＞0$,
∴$|b-a|-|2a-b|+|a-c|-|c|= -(b-a)-(2a-b)+(a-c)-(-c)= -b+a-2a+b+a-c+c= 0$.

答案：

变式3 (2)已知$x= 2002$,化简:$|4x^{2}-5x+9|-4|x^{2}+2x+2|+3x+7$.
解:∵$4x^{2}-5x+9＞0,x^{2}+2x+2＞0$,
∴$|4x^{2}-5x+9|-4|x^{2}+2x+2|+3x+7$,
$=4x^{2}-5x+9-4x^{2}-8x-8+3x+7$,
$=-10x+8$,
当$x= 2002$时,原式$=-10×2002+8= -20012$.

答案：

变式3 (2)已知$x= 2002$,化简:$|4x^{2}-5x+9|-4|x^{2}+2x+2|+3x+7$.
解:∵$4x^{2}-5x+9＞0,x^{2}+2x+2＞0$,
∴$|4x^{2}-5x+9|-4|x^{2}+2x+2|+3x+7$,
$=4x^{2}-5x+9-4x^{2}-8x-8+3x+7$,
$=-10x+8$,
当$x= 2002$时,原式$=-10×2002+8= -20012$.

答案：

变式3 (2)已知$x= 2002$,化简:$|4x^{2}-5x+9|-4|x^{2}+2x+2|+3x+7$.
解:∵$4x^{2}-5x+9＞0,x^{2}+2x+2＞0$,
∴$|4x^{2}-5x+9|-4|x^{2}+2x+2|+3x+7$,
$=4x^{2}-5x+9-4x^{2}-8x-8+3x+7$,
$=-10x+8$,
当$x= 2002$时,原式$=-10×2002+8= -20012$.

答案：