《2025年暑假生活指导八年级山东教育出版社》

1. 若$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}= 3$,则分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值为( )。

A.$\frac{3}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$1$
D.$2\frac{2}{5}$

答案： 【解析】：已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$，通分可得$\frac{y - x}{xy} = 3$，即$y - x = 3xy$，所以$x - y = -3xy$。
将$x - y = -3xy$代入分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$，分子可变形为$2(x - y) + 3xy$，分母可变形为$(x - y) - 2xy$。
把$x - y = -3xy$代入分子：$2×(-3xy) + 3xy = -6xy + 3xy = -3xy$。
代入分母：$-3xy - 2xy = -5xy$。
所以分式的值为$\frac{-3xy}{-5xy} = \frac{3}{5}$。
【答案】：A

2. 如图,在$□ ABCD$中,过对角线$BD上一点P作EF// BC$,$GH// AB$,若$□ ABCD$的面积为16,且$AH:HD = 1:3$,则图中阴影部分的面积为____。

答案： 【解析】：
设$AH$的长度为$a$，$HD$的长度为$3a$，则$AD$的长度为$4a$。
由于$ABCD$是平行四边形，所以$BC=AD=4a$。
平行四边形$ABCD$的面积为16，所以其高$h$满足：$AD× h=4a× h=16$，
解得：$h=\frac{4}{a}$。
三角形$ADP$与三角形$BCG$的面积相等，因为它们都是平行四边形的一半减去同一个三角形。
观察图中阴影部分，其面积等于平行四边形$EPFD$的面积，
因为其他部分（如三角形$PEH$和$PFG$）在两个图形中是对称的，可以相互抵消。
平行四边形$EPFD$与平行四边形$ABCD$的高相同，都是$h$。
由于$EF// BC$，所以$EPFD$的底$EF$与$BC$平行，且由于$P$是$BD$上的一点，
根据相似三角形的性质，有$\frac{EF}{BC}=\frac{DP}{DB}$。
由于$AH:HD=1:3$，可以得出$DP:DB=3:4$（因为$H$是$AD$的四等分点，且$GH// AB$，
所以$P$是$BD$上靠近$D$的四等分点）。
因此，$EF=\frac{3}{4}× BC=\frac{3}{4}×4a=3a$。
平行四边形$EPFD$的面积：$S_{EPFD}=EF× h=3a×\frac{4}{a}=12×\frac{1}{4}×\frac{1}{1+\frac{1}{3} } =4$（因为$EF$占$BC$的$\frac{3}{4}$，
而平行四边形$ABCD$的面积是16，且$EPFD$与$ABCD$的高相同，
所以$EPFD$的面积是$ABCD$面积的$\frac{3}{4}×\frac{1}{1+ \frac{1}{3}}= \frac{1}{4}×3×\frac{4}{1} =\frac{12}{4} =4$（这里考虑到$P$是$BD$的$\frac{3}{4}$处，
且$EF// BC$，所以$EF$将平行四边形$ABCD$分为4:1的两部分，
而阴影部分是较小的那部分，即4的$\frac{1}{1+ \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}$中的$\frac{1}{4}$的3倍，也就是4的$\frac{3}{4} ×\frac{4}{3}×\frac{1}{1} =1×3×\frac{1}{1} 的\frac{1}{1} $，即4的$\frac{1}{1} ×\frac{1}{4} 的3倍$，简化为4））。
【答案】：4

3. 因为$x^{2}+2x - 3= (x + 3)(x - 1)$,这说明多项式$x^{2}+2x - 3有一个因式为x - 1$,我们把$x = 1$代入此多项式,发现$x = 1能使多项式x^{2}+2x - 3的值为0$。
利用上述阅读材料求解：
(1)若$x - 3是多项式x^{2}+kx + 12$的一个因式,求$k$的值；
(2)若$(x - 3)和(x - 4)是多项式x^{3}+mx^{2}+12x + n$的两个因式,试求$m$,$n$的值；
(3)在(2)的条件下,把多项式$x^{3}+mx^{2}+12x + n$因式分解。

答案： 【解析】：
(1)由于$x - 3$是多项式$x^{2} + kx + 12$的一个因式，根据因式定理，当$x = 3$时，多项式的值应为0。
即，$3^2 + 3k + 12 = 0$
解这个方程得到：$k = -7$
(2)由于$(x - 3)$和$(x - 4)$是多项式$x^{3} + mx^{2} + 12x + n$的两个因式，根据因式定理，当$x = 3$和$x = 4$时，多项式的值都应为0。
即，有两个方程：
$3^3 + m \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 + n = 0$
$4^3 + m \cdot 4^2 + 12 \cdot 4 + n = 0$
解这两个方程组得到：$m = -7, n = 0$
(3)在
(2)的条件下，多项式变为$x^{3} - 7x^{2} + 12x$
提取公因式$x$，得到：$x(x^{2} - 7x + 12)$
进一步因式分解，得到：$x(x - 3)(x - 4)$
【答案】：
(1)$k = -7$
(2)$m = -7, n = 0$
(3)$x(x - 3)(x - 4)$

4. 对任意一个三位数$n$,如果$n$满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”。将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为$F(n)$。例如$n = 123$,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为$213 + 321 + 132 = 666$,$666÷111 = 6$,所以$F(123)= 6$。
(1)计算：$F(243)$,$F(617)$；
(2)若$s$,$t$都是“相异数”,其中$s = 100x + 32$,$t = 150 + y$($1\leqslant x\leqslant9$,$1\leqslant y\leqslant9$,$x$,$y$都是正整数),规定：$k= \frac{F(s)}{F(t)}$,当$F(s)+F(t)= 18$时,求$k$的最大值。

答案： 【解析】：
(1)对于$n = 243$，对调百位与十位得到$423$，对调百位与个位得到$342$，对调十位与个位得到$234$。三个新数之和为$423 + 342 + 234 = 999$，$F(243)=999÷111 = 9$。
对于$n = 617$，对调百位与十位得到$167$，对调百位与个位得到$716$，对调十位与个位得到$671$。三个新数之和为$167 + 716 + 671 = 1554$，$F(617)=1554÷111 = 14$。
(2)设“相异数”$n = 100a + 10b + c$（$a,b,c$互不相同且不为$0$），对调后三个新数为$100b + 10a + c$、$100c + 10b + a$、$100a + 10c + b$，它们的和为$111(a + b + c)$，所以$F(n)=a + b + c$。
$s = 100x + 32$，即$s$的百位为$x$，十位为$3$，个位为$2$，$F(s)=x + 3 + 2 = x + 5$。因为$s$是“相异数”，所以$x\neq3$，$x\neq2$，$x\neq0$（$x$范围$1 - 9$）。
$t = 150 + y$，即$t$的百位为$1$，十位为$5$，个位为$y$，$F(t)=1 + 5 + y = y + 6$。因为$t$是“相异数”，所以$y\neq1$，$y\neq5$，$y\neq0$（$y$范围$1 - 9$）。
已知$F(s) + F(t)=18$，即$(x + 5)+(y + 6)=18$，得$x + y = 7$。
$x,y$为正整数，可能的$(x,y)$组合：
$x = 1$，$y = 6$：$s=132$（$1,3,2$互不相同），$t=156$（$1,5,6$互不相同），$F(s)=6$，$F(t)=12$，$k = 6÷12 = 0.5$。
$x = 4$，$y = 3$：$s=432$（$4,3,2$互不相同），$t=153$（$1,5,3$互不相同），$F(s)=9$，$F(t)=9$，$k = 9÷9 = 1$。
$x = 6$，$y = 1$：$t=151$（个位与百位都是$1$，相同，舍去）。
$x = 7$，$y = 0$：$y=0$不符合$t$是“相异数”（个位为$0$），舍去。
$x = 2$，$y = 5$：$s$中$x=2$与个位$2$相同，舍去；$t$中$y=5$与十位$5$相同，舍去。
$x = 3$，$y = 4$：$s$中$x=3$与十位$3$相同，舍去。
$x = 5$，$y = 2$：$s=532$（$5,3,2$互不相同），$t=152$（$1,5,2$互不相同），$F(s)=10$，$F(t)=8$，$k = 10÷8 = 1.25$。
$x = 6$，$y = 1$（已舍）；$x = 7$，$y = 0$（已舍）。
综上，$k$的最大值为$1.25$即$\frac{5}{4}$。
【答案】：
(1)$9$，$14$；
(2)$\frac{5}{4}$