《2025年暑假生活指导八年级山东教育出版社》

1. 在下列三个不为零的式子$x^{2}-4$,$x^{2}-2x$,$x^{2}-4x + 4$中,任选两个你喜欢的式子组成一个分式是____,把这个分式化简所得的结果是____。

答案： 【解析】：
首先，我们可以选择$x^{2} - 4$作为分子，$x^{2} - 2x$作为分母，组成一个分式。
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2x}$
接下来，我们对分子和分母进行因式分解。
分子$x^{2} - 4$可以分解为$(x + 2)(x - 2)$，
分母$x^{2} - 2x$可以分解为$x(x - 2)$。
因此，分式可以写为：
$\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)}$
然后，我们进行约分，消去公共因子$x - 2$，得到：
$\frac{x + 2}{x}$
【答案】：
分式：$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2x}$；
化简结果：$\frac{x + 2}{x}$。

2. 如图,已知正方形$ABCD$的边长为3,$E为CD$边上一点,$DE = 1$。以点$A$为中心,把$\triangle ADE顺时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle ABE'$,连接$EE'$,则$EE'$的长等于____。

答案： 【解析】：
由于$\triangle ADE$顺时针旋转$90^\circ$得到$\triangle ABE'$，可知$E'$位于$BC$的延长线上，
且$BE' = DE = 1$，
因为正方形$ABCD$的边长为$3$，
所以$BC=CD=3$，
所以$CE=CD-DE=3-1=2$，
$E'C=BE'+BC=1+3=4$，
在$Rt\triangle E'CE$中，
$EE'^2=E'C^2+CE^2=4^2+2^2=20$，
所以$EE'=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】：$2\sqrt{5}$

1. 将不等式组$\left\{\begin{array}{l}x + 8\lt4x - 1,\frac{1}{2}x\leqslant8-\frac{3}{2}x\end{array} \right.$的解集在数轴上表示出来,正确的是( )。

答案： 【解析】：解不等式组$\left\{\begin{array}{l}x + 8\lt4x - 1\\frac{1}{2}x\leqslant8-\frac{3}{2}x\end{array}\right.$，
解第一个不等式$x + 8\lt4x - 1$，移项得$8 + 1\lt4x - x$，即$9\lt3x$，解得$x\gt3$；
解第二个不等式$\frac{1}{2}x\leqslant8-\frac{3}{2}x$，两边同时乘以2得$x\leqslant16 - 3x$，移项得$x + 3x\leqslant16$，即$4x\leqslant16$，解得$x\leqslant4$。
所以不等式组的解集为$3\lt x\leqslant4$。在数轴上表示时，$3$处为空心圆圈向右，$4$处为实心圆点向左，两部分的公共部分即$3$到$4$（不包含$3$，包含$4$）的区间，对应选项A。
【答案】：A

2. 如图所示,在$2×2$的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点$A$,$B$,$C$均为格点。以点$A$为圆心,以$AB$长为半径作弧,交格点于点$D$,则$CD$的长为( )。


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
由题可知，$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=\sqrt{2}$。
由图可知，将点D向下平移一个单位得到点（1，2），该点与点C（2，1）可构成直角三角形，且直角边为1，1，
所以$CD=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】：D

3. 要使分式$\frac{x + 1}{x - 2}$有意义,则$x$的取值应满足( )。

A.$x\neq2$
B.$x\neq - 1$
C.$x = 2$
D.$x = - 1$

答案： 【解析】：要使分式$\frac{x + 1}{x - 2}$有意义，其分母$x - 2$不能为0。
因此，$x - 2 \neq 0$，
解得$x \neq 2$。
【答案】：A

1. 化简：$(\frac{2x}{x + 2}-\frac{x}{x - 2})÷\frac{x}{x^{2}-4}$。

答案： 【解析】：先对括号内的分式进行通分运算，再将除法转化为乘法，然后进行约分计算。
$\begin{aligned}&(\frac{2x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2}) ÷ \frac{x}{x^2 - 4}\\=&\left[\frac{2x(x - 2) - x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}\right] × \frac{(x + 2)(x - 2)}{x}\\=&\frac{2x^2 - 4x - x^2 - 2x}{(x + 2)(x - 2)} × \frac{(x + 2)(x - 2)}{x}\\=&\frac{x^2 - 6x}{(x + 2)(x - 2)} × \frac{(x + 2)(x - 2)}{x}\\=&\frac{x(x - 6)}{(x + 2)(x - 2)} × \frac{(x + 2)(x - 2)}{x}\\=&x - 6\end{aligned}$
【答案】：x - 6