《2025年暑假生活指导八年级山东教育出版社》

1. 因式分解：$x^{2}-16= $____。

答案： 【解析】：本题考查平方差公式的应用。平方差公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。在式子$x^2-16$中，$x^2$可看作$x$的平方，$16$可看作$4$的平方，即$16 = 4^2$。所以$x^2-16$符合平方差公式的形式，其中$a=x$，$b = 4$。根据平方差公式可得：$x^2-16=(x + 4)(x - 4)$。
【答案】：$(x + 4)(x - 4)$

2. 多项式$ax^{2}-a与多项式x^{2}-2x + 1$的公因式是____。

答案： 【解析】：
首先，对多项式$ax^{2} - a$进行因式分解。
$ax^{2} - a = a(x^{2} - 1) = a(x + 1)(x - 1)$
其中，$a$、$(x + 1)$和$(x - 1)$都是$ax^{2} - a$的因式。
接着，对多项式$x^{2} - 2x + 1$进行因式分解。
$x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}$
其中，$(x - 1)$是$x^{2} - 2x + 1$的因式，且出现了两次（因为是平方）。
通过对比两个多项式的因式，可以发现它们的公因式是$(x - 1)$。
【答案】：$(x - 1)$

3. 分式方程$\frac{2}{x - 3}= \frac{3}{x}$的解是____。

答案： 【解析】：
首先，我们将方程的两边同时乘以公共的分母，即$x(x - 3)$，以消去分母，得到：
$2x = 3(x - 3)$
展开并整理得：
$2x = 3x - 9$
进一步整理，我们得到：
$x = 9$
为了确保找到的解是有效的，我们需要将其代回原方程进行检验。
代入$x = 9$，我们得到：
$\frac{2}{9-3} = \frac{3}{9}$
$\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
由于等式成立，所以$x = 9$是方程的解。
【答案】：$x = 9$

4. 一元一次不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x - 2\gt0,\\x - 1\leqslant0\end{array} \right.$的解集是____。

答案： 【解析】：
首先，我们分别解每一个不等式。
对于不等式 $3x - 2 \gt 0$，移项得 $3x \gt 2$，再除以3得 $x \gt \frac{2}{3}$。
对于不等式 $x - 1 \leqslant 0$，直接得出 $x \leqslant 1$。
接下来，我们需要找出这两个不等式的公共解集。
公共解集需要满足两个条件：$x \gt \frac{2}{3}$ 和 $x \leqslant 1$。
因此，解集为 $\frac{2}{3} \lt x \leqslant 1$。
【答案】：$\frac{2}{3} \lt x \leqslant 1$

5. 当$x = $____时,分式$\frac{x - 2}{x + 1}$的值为0。

答案： 【解析】：
要使分式$\frac{x - 2}{x + 1}$的值为0，需要满足两个条件：
分子$x - 2 = 0$，
分母$x + 1 \neq 0$。
首先解第一个条件，得到$x = 2$。
然后验证第二个条件，当$x = 2$时，$x + 1 = 2 + 1 = 3 \neq 0$。
因此，当$x = 2$时，分式$\frac{x - 2}{x + 1}$的值为0。
【答案】：2

6. 要使分式$\frac{2x}{x - 3}$有意义,则$x$须满足的条件为____。

答案： 【解析】：要使分式$\frac{2x}{x - 3}$有意义，分式的分母不能为$0$，即$x - 3 \neq 0$，解得$x \neq 3$。
【答案】：$x \neq 3$

7.(1)$\frac{m + n}{m^{2}-n^{2}}= \frac{1}{( )}$；
(2)$\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a^{2}-b^{2}}= \frac{( )}{a + b}$；
(3)$\frac{x + y}{3y}= \frac{x^{2}-y^{2}}{( )}$。

答案： 【解析】：
(1) 对分母进行因式分解：$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，则原式$\frac{m + n}{(m + n)(m - n)} = \frac{1}{m - n}$，故括号内填$m - n$。
(2) 分子$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，分母$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，原式$\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{a - b}{a + b}$，故括号内填$a - b$。
(3) 分子由$x + y$变为$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，即分子乘以$(x - y)$，根据分式基本性质，分母也应乘以$(x - y)$，$3y(x - y) = 3xy - 3y^2$，故括号内填$3xy - 3y^2$。
【答案】：
(1)$m - n$；
(2)$a - b$；
(3)$3xy - 3y^2$