《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

1. 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是(C)
A.1,2,3
B.2,3,4
C.$\sqrt{1}$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$
D.5,7,10

答案： 解：
A. $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$，$3^2 = 9$，$5 \neq 9$，不能构成直角三角形。
B. $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 \neq 16$，不能构成直角三角形。
C. $(\sqrt{1})^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，$3 = 3$，能构成直角三角形。
D. $5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$，$10^2 = 100$，$74 \neq 100$，不能构成直角三角形。
结论：C

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle A:\angle B:\angle C= 1:1:2$,$a$,$b$,$c分别为\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边,则下列说法中错误的是(B)
A.$\angle C= 90^{\circ}$
B.$a^{2}= b^{2}-c^{2}$
C.$c^{2}= 2a^{2}$
D.$a= b$

答案： 解：设∠A=∠B=x，则∠C=2x，
x+x+2x=180°，解得x=45°，
∠A=∠B=45°，∠C=90°，A正确；
∵∠A=∠B，
∴a=b，D正确；
由勾股定理得a²+b²=c²，
∵a=b，
∴2a²=c²，C正确；
a²=b²-c²可化为c²=b²-a²，与勾股定理矛盾，B错误。
答案：B

3. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别为a$,$b$,$c$,且$(a+b)(a-b)= c^{2}$,则(A)
A.$\angle A$为直角
B.$\angle B$为直角
C.$\angle C$为直角
D.$\triangle ABC$不是直角三角形

答案： 解：
∵ $(a+b)(a-b)=c^2$
∴ $a^2 - b^2 = c^2$
即 $a^2 = b^2 + c^2$
根据勾股定理的逆定理，$\angle A$为直角。
A

4. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C的对边分别是a$,$b$,$c$,下列命题中是假命题的是(B)
A.如果$\angle C-\angle B= \angle A$,则$\triangle ABC$是直角三角形
B.如果$c^{2}= b^{2}-a^{2}$,则$\triangle ABC$是直角三角形,且$\angle C= 90^{\circ}$
C.如果$(c+a)(c-a)= b^{2}$,则$\triangle ABC$是直角三角形
D.如果$\angle A:\angle B:\angle C= 5:2:3$,则$\triangle ABC$是直角三角形

答案： 解：A.
∵∠C - ∠B = ∠A，∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠C = ∠A + ∠B，
∴2∠C = 180°，∠C = 90°，是直角三角形，真命题；
B.
∵c² = b² - a²，
∴b² = a² + c²，根据勾股定理逆定理，∠B = 90°，假命题；
C.
∵(c + a)(c - a) = b²，
∴c² - a² = b²，即c² = a² + b²，∠C = 90°，是直角三角形，真命题；
D. 设∠A = 5x，∠B = 2x，∠C = 3x，5x + 2x + 3x = 180°，x = 18°，∠A = 90°，是直角三角形，真命题。
答案：B

1. 如图,点$E是正方形ABCD$内的一点,连接$AE$,$BE$,$CE$,将$\triangle ABE绕点B顺时针旋转90^{\circ}到\triangle CBE'$的位置,若$AE= 1$,$BE= 2$,$CE= 3$,则$\angle BE'C= $135度.

答案： 解：连接EE'。
由旋转性质得：△ABE≌△CBE'，∠EBE'=90°，
∴BE=BE'=2，CE'=AE=1。
在Rt△EBE'中，EE'²=BE²+BE'²=2²+2²=8，∠BE'E=45°。
在△EE'C中，EE'²=8，E'C²=1，EC²=9，
∵8+1=9，即EE'²+E'C²=EC²，
∴∠EE'C=90°。
∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°。
135

2. 若一个三角形的三边长之比为$5:12:13$,且周长为$60cm$,则它的面积为______$cm^{2}$.
120

答案： 解：设三角形三边长分别为5x cm，12x cm，13x cm。
由周长为60cm，得5x + 12x + 13x = 60，
解得x = 2。
三边长分别为10cm，24cm，26cm。
因为10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26²，
所以该三角形为直角三角形，两直角边为10cm，24cm。
面积为$\frac{1}{2}×10×24 = 120$（cm²）。
120