《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

1. 计算：
(1)$\sqrt{45}÷\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{3}{2}\sqrt{5}$；
(2)$3\sqrt{2\frac{1}{3}}×(-\frac{1}{8}\sqrt{15})÷\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{5}}$.

答案：
(1) $\sqrt{45}÷\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{3}{2}\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}÷\left(\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{5}}{5}\right)×\frac{3}{2}\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}÷\frac{3\sqrt{5}}{10}×\frac{3}{2}\sqrt{5}$
$=3\sqrt{5}×\frac{10}{3\sqrt{5}}×\frac{3}{2}\sqrt{5}$
$=10×\frac{3}{2}\sqrt{5}$
$=15\sqrt{5}$
(2) $3\sqrt{2\frac{1}{3}}×(-\frac{1}{8}\sqrt{15})÷\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{5}}$
$=3\sqrt{\frac{7}{3}}×(-\frac{1}{8}\sqrt{15})÷\left(\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$
$=3×\frac{\sqrt{21}}{3}×(-\frac{1}{8}\sqrt{15})÷\frac{\sqrt{10}}{10}$
$=\sqrt{21}×(-\frac{\sqrt{15}}{8})×\frac{10}{\sqrt{10}}$
$=-\frac{\sqrt{315}}{8}×\frac{10}{\sqrt{10}}$
$=-\frac{3\sqrt{35}}{8}×\sqrt{10}$
$=-\frac{3\sqrt{350}}{8}$
$=-\frac{15\sqrt{14}}{8}$

2. 已知$a = 2\sqrt{3 - b}+\sqrt{3b - 9}+2$,求$\sqrt{\frac{ab - 1}{a + b}}÷\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$的值.

答案： 解：由题意得：
$\begin{cases}3 - b \geq 0 \\3b - 9 \geq 0\end{cases}$
解得 $b = 3$
将 $b = 3$ 代入 $a = 2\sqrt{3 - b} + \sqrt{3b - 9} + 2$，得 $a = 2$
原式 $= \sqrt{\frac{ab - 1}{a + b}} ÷ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
$= \sqrt{\frac{ab - 1}{a + b}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{b}$
$= \sqrt{\frac{(ab - 1)b}{a(a + b)}}$
将 $a = 2$，$b = 3$ 代入，得：
$\sqrt{\frac{(2 × 3 - 1) × 3}{2 × (2 + 3)}} = \sqrt{\frac{5 × 3}{2 × 5}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
答案：$\frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 在交通事故的处理中,警察往往用公式$v = 16\sqrt{df}$来判断车辆是否超速,其中$v$表示车速(单位：$km/h$),$d$表示刹车时车轮滑过的距离(单位：$m$). 某日,在一段限速为$60km/h$的公路上,发生了两车追尾事故,警察赶到后,经过测量,得出一辆车的$d = 20m$,$f = 1.2$,请问该车超速了吗？

答案： 解：将$d = 20$，$f = 1.2$代入公式$v = 16\sqrt{df}$，得$v = 16\sqrt{20×1.2}$。
计算$20×1.2 = 24$，则$v = 16\sqrt{24}$。
$\sqrt{24}\approx4.899$，所以$v\approx16×4.899\approx78.384$（$km/h$）。
因为$78.384 ＞ 60$，所以该车超速。
该车超速