《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

2. 已知菱形的周长为24 cm,两邻角之比为$2:1$,则较短的对角线的长为6 cm.

答案： 解：
∵菱形周长为24 cm，
∴菱形边长为 $24 ÷ 4 = 6$ cm.
∵菱形两邻角之和为180°，且两邻角之比为2:1，
∴较小内角为 $180^\circ × \frac{1}{2+1} = 60^\circ$.
∵菱形四边相等，较小内角为60°，
∴较短对角线与两边构成等边三角形，
∴较短对角线长等于边长，即6 cm.
答案：6 cm

3. 如图,四边形ABCD是菱形,点O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,阴影部分的面积为12.

答案： 解：
∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形面积为 $\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
∵菱形的对角线互相平分，过对角线交点O的直线将菱形面积平分，
∴阴影部分面积为菱形面积的一半，即 $\frac{1}{2} × 24 = 12$。
12

1. 已知：如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过点M作$ME⊥CD$于点E,$∠1= ∠2$.
(1)若$CE= 1$,求BC的长；
(2)求证：$AM= DF+ME$.

答案：
(1)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，AB//CD，
∴∠1=∠ACD。
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD。
∵ME⊥CD，
∴CE=DE=1，
∴CD=CE+DE=2，
∴BC=CD=2。
(2)证明：延长DF至点G，使FG=ME，连接CG。
∵F为BC中点，
∴BF=CF。
∵AB//CD，
∴∠1=∠ACD=∠2，∠CMF=∠AMD。
在△CME和△CDG中，∠MCE=∠DCG，MC=MD，∠CME=∠CDG，
∴△CME≌△CDG(ASA)，
∴ME=DG，CG=CE。
∵AB=CD，∠B=∠DCB，BF=CF，
∴△ABF≌△DCF(SAS)，
∴AF=DF。
∵∠GCF=∠2+∠MCG=∠1+∠MCE=∠ACB，
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=∠GCF+∠BCG=∠BCF=∠BAC，
∴AG=CG=CE=DE。
∵AM=AG+GM，GM=DF，AG=ME，
∴AM=DF+ME。

2. 如图,在四边形ABCD中,$AB= CD$,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点,连接MN,PQ,请你探索MN与PQ的关系,并证明你的结论.

答案： 解：MN与PQ的关系是MN⊥PQ且MN=PQ。
证明：连接MP，PN，NQ，QM。
∵M，P分别是AD，BD的中点，
∴MP是△ABD的中位线，
∴MP=$\frac{1}{2}$AB，MP//AB。
同理，NQ=$\frac{1}{2}$AB，NQ//AB，
∴MP=NQ，MP//NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形。
∵P，N分别是BD，BC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，
∴PN=$\frac{1}{2}$CD。
∵AB=CD，
∴MP=PN，
∴平行四边形MPNQ是菱形，
∴MN⊥PQ，MN=PQ。
综上，MN与PQ垂直且相等。