《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

3. 平行四边形两邻边的长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为5.

答案： 解：设两较短边之间的距离为$h$。
平行四边形面积$S = 较长边×较长边之间的距离 = 20×4 = 80$。
又$S = 较短边×较短边之间的距离 = 16h$，则$16h = 80$，解得$h = 5$。
5

1. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E是AD$边上的中点,连接$BE$,并延长$BE交CD的延长线于点F$.
(1)证明：$FD= AB$；
(2)当平行四边形$ABCD$的面积为8时,求$\triangle FED$的面积.

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AB=CD$，
∴$∠ABE=∠F$，$∠A=∠EDF$。
∵$E$是$AD$中点，
∴$AE=DE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DFE$中，
$\begin{cases}∠ABE=∠F \\∠A=∠EDF \\AE=DE\end{cases}$，
∴$\triangle ABE≌\triangle DFE(AAS)$，
∴$FD=AB$。
(2)解：
∵$E$是$AD$中点，
∴$AE=DE=\frac{1}{2}AD$。
∵$\triangle ABE≌\triangle DFE$，
∴$BE=EF$，$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DFE}$。
∵$AB // CD$，
∴$\triangle ABE$和$\triangle CBE$等高，且$AE:BC=1:2$，
∴$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle CBE}$。
设$S_{\triangle ABE}=x$，则$S_{\triangle CBE}=2x$，
平行四边形$ABCD$面积$=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle CBE}=x+2x=3x=8$（此处修正：应为$S_{\triangle ABE}+S_{\triangle CBE}=x+2x=3x$，但平行四边形面积实际为$2(S_{\triangle ABE}+S_{\triangle CDE})$，更简便：
∵$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\text{平行四边形}ABCD}=4$，
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=2$（$E$为$AD$中点，同高），
∴$S_{\triangle FED}=S_{\triangle ABE}=2$。
$S_{\triangle FED}=2$。
（注：原参考答案结论正确，过程优化后直接得$S_{\triangle FED}=2$）
最终答案：
(1)证明见上；
(2)$\boxed{2}$

2. 如图,在$□ ABCD$中,$BD\perp AD$,$\angle A= 45^{\circ}$,$E$,$F分别是AB$,$CD$上的点,且$BE= DF$,连接$EF交BD于O$.
(1)求证：$BO= DO$；
(2)若$EF\perp AB$,延长$EF交AD的延长线于G$,当$FG= 1$时,求$AD$的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠OBE=∠ODF，∠OEB=∠OFD，
∵BE=DF，
∴△OBE≌△ODF(AAS)，
∴BO=DO。
(2)解：
设AD=x，
∵BD⊥AD，∠A=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=x，AB=√2x，∠ABD=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠OEB=90°，
∴△OEB是等腰直角三角形，
∴OE=BE，OB=√2BE，
∵BO=DO=1/2BD=1/2x，
∴√2BE=1/2x，即BE=x/(2√2)，OE=x/(2√2)，
∵AB//CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，∠DFG=90°，
∵AB=CD，BE=DF，
∴DF=BE=x/(2√2)，
∵∠GDF=∠ADB=90°，∠G=∠A=45°(AB//CD，同位角相等)，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=DF=x/(2√2)=1，
解得x=2√2，
即AD=2√2。