《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

1. 计算：
(1)$\sqrt { 48 } ÷ \sqrt { 3 } - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } × \sqrt { 12 } + \sqrt { 24 }$； (2)$\sqrt { 15 } ÷ \left( \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } + \frac { 1 } { 2 } \right)$；
(3)$\frac { 2 + \sqrt { 2 } } { 2 - \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } - 1 }$； (4)$( a + 2 \sqrt { a b } + b ) ÷ ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) - ( \sqrt { b } - \sqrt { a } )$.

答案：
(1) 解：原式$=\sqrt{48÷3}-\sqrt{\frac{1}{2}×12}+2\sqrt{6}$
$=\sqrt{16}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$
$=4+\sqrt{6}$
(2) 解：原式$=\sqrt{15}÷\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right)$
$=\sqrt{15}×\frac{2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$=2\sqrt{45}×\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$=6\sqrt{5}×(2-\sqrt{3})$
$=12\sqrt{5}-6\sqrt{15}$
(3) 解：原式$=\frac{(2+\sqrt{2})^2}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}-\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$
$=\frac{4+4\sqrt{2}+2}{4-2}-(\sqrt{2}+1)$
$=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}-1$
$=3+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-1$
$=2+\sqrt{2}$
(4) 解：原式$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2÷(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{b}+\sqrt{a}$
$=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{b}+\sqrt{a}$
$=2\sqrt{a}$

2. 先化简,再求值：$\left( \frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } } + \frac { a } { b - a } \right) ÷ \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - a b }$,其中 $a , b$ 满足 $\sqrt { a + 1 } + | b - \sqrt { 3 } | = 0$.

答案： 解：原式$=\left[\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}-\frac{a}{a-b}\right]÷\frac{b^2}{a(a-b)}$
$=\left(\frac{a+b}{a-b}-\frac{a}{a-b}\right)\cdot\frac{a(a-b)}{b^2}$
$=\frac{b}{a-b}\cdot\frac{a(a-b)}{b^2}$
$=\frac{a}{b}$
由$\sqrt{a+1}+\vert b-\sqrt{3}\vert=0$，得$a+1=0$，$b-\sqrt{3}=0$，即$a=-1$，$b=\sqrt{3}$
当$a=-1$，$b=\sqrt{3}$时，原式$=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$