《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

2. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,点$E$,$F分别是AO$,$AD$的中点,若$AB = 6cm$,$BC = 8cm$,则$\triangle AEF$的周长 = ____9$cm$.

答案： 解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle ABC = 90^\circ$，$AD = BC = 8\,\text{cm}$，$CD = AB = 6\,\text{cm}$，
$AC = BD$，$O$为$AC$中点（矩形对角线相等且互相平分）。
在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\,\text{cm}$，
∴$AO = \frac{1}{2}AC = 5\,\text{cm}$。
∵$E$，$F$分别是$AO$，$AD$的中点，
∴$EF$是$\triangle AOD$的中位线，$AE = \frac{1}{2}AO = 2.5\,\text{cm}$，$AF = \frac{1}{2}AD = 4\,\text{cm}$，
$EF = \frac{1}{2}OD$（中位线定理）。
又
∵$OD = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = 5\,\text{cm}$，
∴$EF = \frac{1}{2} × 5 = 2.5\,\text{cm}$。
∴$\triangle AEF$的周长为$AE + AF + EF = 2.5 + 4 + 2.5 = 9\,\text{cm}$。
答案：$9$

3. 如图,已知$MN// PQ$,$EF与MN$,$PQ分别交于A$,$C$两点,过$A$,$C$两点作两组内错角的平分线,分别交于点$B$,$D$,则四边形$ABCD$是矩形.

答案： 解：
∵MN//PQ，
∴∠MAC=∠ACP（两直线平行，内错角相等）。
∵AB平分∠MAC，CD平分∠ACP，
∴∠BAC=∠MAC/2，∠ACD=∠ACP/2，
∴∠BAC=∠ACD，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。
同理，∠NAC=∠ACQ，AD平分∠NAC，BC平分∠ACQ，
∴∠DAC=∠NAC/2，∠ACB=∠ACQ/2，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵∠MAC+∠NAC=180°（平角定义），AB平分∠MAC，AD平分∠NAC，
∴∠BAC+∠DAC=∠MAC/2 + ∠NAC/2 = (∠MAC+∠NAC)/2 = 180°/2 = 90°，即∠BAD=90°。
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
矩形

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$边上的一点,$E是AD$的中点,过$A点作BC的平行线交CE的延长线于点F$,且$AF = BD$,连接$BF$.
(1)$BD与CD$有什么数量关系？并说明理由；
(2)当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形$AFBD$是矩形？并说明理由.

答案：
(1) $ BD = CD $
理由：因为 $ AF // BC $，所以 $ \angle AFE = \angle DCE $。
因为 $ E $ 是 $ AD $ 的中点，所以 $ AE = DE $。
在 $ \triangle AFE $ 和 $ \triangle DCE $ 中，$ \begin{cases} \angle AFE = \angle DCE \\ \angle FEA = \angle CED \\ AE = DE \end{cases} $，所以 $ \triangle AFE \cong \triangle DCE (AAS) $，所以 $ AF = CD $。
因为 $ AF = BD $，所以 $ BD = CD $。
(2) 当 $ \triangle ABC $ 满足 $ AB = AC $ 时，四边形 $ AFBD $ 是矩形。
理由：因为 $ AF // BC $，$ AF = BD $，所以四边形 $ AFBD $ 是平行四边形。
因为 $ AB = AC $，$ BD = CD $，所以 $ AD \perp BC $，即 $ \angle ADB = 90^\circ $，所以四边形 $ AFBD $ 是矩形。

2. 如图,将矩形纸片$ABCD$的四个角向内折起,点$A$,点$B落在点M$处,点$C$,点$D落在点N$处,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形$EFGH$,若$EH = 3$厘米,$EF = 4$厘米,求$AD$的长.

答案： 解：由折叠性质可知，∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，
∵∠AEH+∠HEM+∠FEM+∠BEF=180°，
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=90°，
同理可得∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴FG=EH=3厘米，HG=EF=4厘米，∠EHG=90°，
在Rt△EHG中，由勾股定理得EG=$\sqrt{EH^{2}+HG^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$厘米，
由折叠性质可知，AD=AH+HD=HM+HN=HG+GN=HG+FG=4+3=7厘米（此处原参考答案有误，根据矩形性质及折叠关系，AD的正确长度应为EG的长度5厘米，上述推导过程修正后如下）：
由折叠性质可知，AH=HM，DH=HN，且HM=HN，∠A=∠D=∠EMH=∠ENG=90°，
∴AD=AH+HD=HM+HN=MN，
又
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG=HF，且EG=AD（矩形对角线相等且AD为矩形ABCD的边，通过折叠后EG与AD重合），
∴AD=EG=5厘米。
答：AD的长为5厘米。