《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

1. 我市荸荠喜获丰收,某生产基地收获荸荠40吨,经市场调查,可采用批发、零售、加工销售三种销售方式,这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表：
|销售方式|批发|零售|加工销售|
|利润(百元/吨)|12|22|30|
设按计划全部售出的总利润为$y$百元,其中批发量为$x$吨,加工销售量为15吨。
(1)求$y与x$之间的函数关系式；
(2)若零售量不超过批发量的4倍,求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润。

答案：
(1) 解：由题意得，零售量为 $40 - x - 15 = (25 - x)$ 吨。
总利润 $y = 12x + 22(25 - x) + 30×15$
化简得：$y = 12x + 550 - 22x + 450 = -10x + 1000$
(2) 解：由题意得，零售量不超过批发量的 4 倍，即 $25 - x \leq 4x$，解得 $x \geq 5$。
因为 $y = -10x + 1000$ 中，$-10 ＜ 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小。
当 $x = 5$ 时，$y$ 有最大值，$y = -10×5 + 1000 = 950$。
最大利润为 950 百元。

2. 如图所示,直线$y= 2x+3与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$。
(1)求$A$,$B$两点的坐标；
(2)过点$B作直线BP与x轴交于点P$,且使$OP= 2OA$,求$\triangle ABP$的面积。

答案：
(1)解：对于直线$y = 2x + 3$，
令$y = 0$，则$2x+3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，所以$A\left(-\frac{3}{2},0\right)$；
令$x = 0$，则$y=3$，所以$B(0,3)$。
(2)解：由
(1)知$OA=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$，
因为$OP = 2OA$，所以$OP=2×\frac{3}{2}=3$，
则点$P$的坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
当$P(3,0)$时，$AP=3-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}$，
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× AP× OB=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$；
当$P(-3,0)$时，$AP=\left|-\frac{3}{2}-(-3)\right|=\frac{3}{2}$，
$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}× AP× OB=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×3=\frac{9}{4}$。
综上，$\triangle ABP$的面积为$\frac{27}{4}$或$\frac{9}{4}$。