《2025年智趣暑假作业八年级数学人教版》

1. 已知式子$\sqrt {x-1}-\sqrt {1-x}$在实数范围内有意义,则x的取值范围为 (A)
A.$x= 1$
B.$x≥1$
C.$x≤1$
D.$0＜x＜1$

答案： 要使式子$\sqrt{x - 1} - \sqrt{1 - x}$在实数范围内有意义，需满足被开方数非负。
对于$\sqrt{x - 1}$，有$x - 1 \geq 0$，解得$x \geq 1$；
对于$\sqrt{1 - x}$，有$1 - x \geq 0$，解得$x \leq 1$。
综上，$x$需同时满足$x \geq 1$和$x \leq 1$，故$x = 1$。
答案：A

2. 在$△ABC$中,$∠A,∠B,∠C$的对边分别是a,b,c,则下列条件中不能判定$△ABC$为直角三角形的是 (B)
A.$∠A= ∠B-∠C$
B.$∠A:∠B:∠C= 1:3:5$
C.$a:b:c= 1:\sqrt {2}:\sqrt {3}$
D.$a^{2}+c^{2}= b^{2}$

答案： 解：
A.
∵∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，得∠B=90°，能判定直角三角形。
B.
∵∠A:∠B:∠C=1:3:5，设∠A=x，∠B=3x，∠C=5x
∴x+3x+5x=180°，解得x=20°，则∠C=100°≠90°，不能判定直角三角形。
C.
∵a:b:c=1:$\sqrt{2}$:$\sqrt{3}$，设a=k，b=$\sqrt{2}$k，c=$\sqrt{3}$k
∴a²+b²=k²+2k²=3k²=c²，能判定直角三角形。
D.
∵a²+c²=b²，符合勾股定理逆定理，能判定直角三角形。
答案：B

3. 如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是 (D)

A.$AB= CD$
B.$AD= BC$
C.$AB= BC$
D.$AC= BD$

答案： 解：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形。
要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是对角线相等，即AC=BD。
答案：D

4. 如图,某地修建高速公路,要从 B 地向 C 地修一座隧道(B,C 在同一水平面上),为了测量 B,C 两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从 C 地出发,垂直上升 100 m到达 A 处,在 A 处观察 B 地的俯角为$30^{\circ }$,则 B,C 两地之间的距离为 (A)

A.$100\sqrt {3}m$
B.$50\sqrt {2}m$
C.$50\sqrt {3}m$
D.$\frac {100\sqrt {3}}{3}m$

答案： 解：由题意得，AC⊥BC，AC=100m，∠ABC=30°。
在Rt△ABC中，tan∠ABC=AC/BC，
即tan30°=100/BC，
因为tan30°=√3/3，
所以√3/3=100/BC，
解得BC=100√3 m。
答案：A

1. 当$a= \sqrt {5}+\frac {1}{2}$时,式子$(a-\sqrt {3})(a+\sqrt {3})-a(a-6)$的值是$6\sqrt{5}$.

答案： 解：$(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})-a(a-6)$
$=a^2 - (\sqrt{3})^2 - (a^2 - 6a)$
$=a^2 - 3 - a^2 + 6a$
$=6a - 3$
当$a = \sqrt{5} + \frac{1}{2}$时，
原式$=6(\sqrt{5} + \frac{1}{2}) - 3$
$=6\sqrt{5} + 3 - 3$
$=6\sqrt{5}$
$6\sqrt{5}$