《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学、生物学合订本》

12. 已知$x满足x^{2}-2x - 1 = 0$,求代数式$(2x - 1)^{2}-x(x + 4)+(x - 2)(x + 2)$的值。

答案： 因为$x^{2}-2x-1=0$，所以$x^{2}-2x=1$。
所以原式$=4x^{2}-4x+1-x^{2}-4x+x^{2}-4=4x^{2}-8x-3=4(x^{2}-2x)-3=4-3=1$。

13. 已知$2x + y = 4$,求$[(x - y)^{2}-(x + y)^{2}+y(2x - y)]÷(-2y)$的值。

答案： 因为$2x+y=4$，所以$x+\frac{1}{2}y=2$。
所以原式$=[x^{2}-2xy+y^{2}-x^{2}-2xy-y^{2}+2xy-y^{2}]÷(-2y)=(-2xy-y^{2})÷(-2y)=x+\frac{1}{2}y=2$。

14. 阅读下列材料：小明为了计算$1 + 2 + 2^{2}+…+2^{2024}+2^{2025}$的值,采用以下方法。
设$S = 1 + 2 + 2^{2}+…+2^{2024}+2^{2025}$,①
则$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+…+2^{2025}+2^{2026}$。②
②-①,得$2S - S = S = 2^{2026}-1$。
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)$1 + 2 + 2^{2}+…+2^{9}= $$2^{10}-1$；
(2)$3 + 3^{2}+…+3^{10}= $$\frac{3^{11}-3}{2}$；
(3)求$1 + a + a^{2}+…+a^{n}的结果(a＞0$,$n$是正整数,请写出计算过程)。
令$S=1+a+a^{2}+... +a^{n}$， ①
则$aS=a+a^{2}+... +a^{n+1}$。 ②
②-①，得$aS-S=(a-1)S=a^{n+1}-1$。
所以$S=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$，即$1+a+a^{2}+... +a^{n}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$。

答案：
(1)$2^{10}-1$
(2)$\frac{3^{11}-3}{2}$
(3)令$S=1+a+a^{2}+... +a^{n}$， ①
![img alt=14
(3)]
则$aS=a+a^{2}+... +a^{n+1}$。 ②
②-①，得$aS-S=(a-1)S=a^{n+1}-1$。
所以$S=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$，即$1+a+a^{2}+... +a^{n}=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$。