《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学、生物学合订本》

13. 如图4-9①,将一张长方形纸片沿一条对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如图4-9②的形式,使点$B$,$F$,$C$,$D$在同一条直线上。
(1) 请说明$AB\perp ED$；
(2) 若$AB = DB$,$PB = BC$,请在图中找出除$\triangle ABC\cong\triangle DEF$外的另一对全等三角形,并说明理由。
(1) 由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，所以 $\angle A = \angle D$。
因为 $\angle DNC = \angle ANP$，所以 $\angle APN = \angle DCN$。
又因为 $AC \perp BD$，所以 $\angle DCN = 90^{\circ}$。
所以 $\angle APN = 90^{\circ}$，即 $AB \perp ED$。
(2) $\triangle PNA \cong \triangle CND$。
理由如下：由 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，得 $\angle A = \angle D$。因为 $AB = DB$，$PB = BC$，所以 $AB - PB = DB - BC$，即 $AP = DC$。
在 $\triangle PNA$ 和 $\triangle CND$ 中，$\angle ANP = \angle DNC$，$\angle A = \angle D$，$AP = DC$，所以 $\triangle PNA \cong \triangle CND(AAS)$。

答案：
(1) 由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，所以 $\angle A = \angle D$。
因为 $\angle DNC = \angle ANP$，所以 $\angle APN = \angle DCN$。
又因为 $AC \perp BD$，所以 $\angle DCN = 90^{\circ}$。
所以 $\angle APN = 90^{\circ}$，即 $AB \perp ED$。
(2) $\triangle PNA \cong \triangle CND$。
理由如下：由 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，得 $\angle A = \angle D$。因为 $AB = DB$，$PB = BC$，所以 $AB - PB = DB - BC$，即 $AP = DC$。
在 $\triangle PNA$ 和 $\triangle CND$ 中，$\angle ANP = \angle DNC$，$\angle A = \angle D$，$AP = DC$，所以 $\triangle PNA \cong \triangle CND(AAS)$。

14. (1) 操作发现
如图4-10①,在等边三角形$ABC$中,$M是线段BC$上的任意一点(不含端点$B$,$C$),连接$AM$,以$AM为边作等边三角形AMN$,连接$CN$,猜想$\angle ABC与\angle ACN$有何数量关系,并说明你的理由。
猜想：$\angle ABC = \angle ACN$。
理由如下：因为在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC = 60^{\circ}$；
在等边三角形 $AMN$ 中，$AM = AN$，$\angle MAN = \angle NAC + \angle MAC = 60^{\circ}$，所以 $\angle BAM = \angle NAC = 60^{\circ} - \angle MAC$。
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle ACN$ 中，$AB = AC$，$\angle BAM = \angle NAC$，$AM = AN$，所以 $\triangle ABM \cong \triangle ACN(SAS)$。
所以 $\angle ABC = \angle ACN$。
(2) 类比探究
如图4-10②,在等边三角形$ABC$中,$M是BC$延长线上的任意一点,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。
成立。
理由如下：因为在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAM = \angle BAC + \angle MAC = 60^{\circ} + \angle MAC$；
在等边三角形 $AMN$ 中，$AM = AN$，$\angle NAC = \angle NAM + \angle MAC = 60^{\circ} + \angle MAC$，所以 $\angle BAM = \angle NAC = 60^{\circ} + \angle MAC$。
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle ACN$ 中，$AB = AC$，$\angle BAM = \angle NAC$，$AM = AN$，所以 $\triangle ABM \cong \triangle ACN(SAS)$。
所以 $\angle ABC = \angle ACN$。

答案：
(1) $\angle ABC = \angle ACN$。
理由如下：因为在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = \angle BAM + \angle MAC = 60^{\circ}$；
在等边三角形 $AMN$ 中，$AM = AN$，$\angle MAN = \angle NAC + \angle MAC = 60^{\circ}$，所以 $\angle BAM = \angle NAC = 60^{\circ} - \angle MAC$。
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle ACN$ 中，$AB = AC$，$\angle BAM = \angle NAC$，$AM = AN$，所以 $\triangle ABM \cong \triangle ACN(SAS)$。
所以 $\angle ABC = \angle ACN$。
(2) 成立。
理由如下：因为在等边三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAM = \angle BAC + \angle MAC = 60^{\circ} + \angle MAC$；
在等边三角形 $AMN$ 中，$AM = AN$，$\angle NAC = \angle NAM + \angle MAC = 60^{\circ} + \angle MAC$，所以 $\angle BAM = \angle NAC = 60^{\circ} + \angle MAC$。
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle ACN$ 中，$AB = AC$，$\angle BAM = \angle NAC$，$AM = AN$，所以 $\triangle ABM \cong \triangle ACN(SAS)$。
所以 $\angle ABC = \angle ACN$。