《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学、生物学合订本》

12. 如图 5 - 9,已知 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = A C $,$ A D $ 和 $ B E $ 是高,它们交于点 $ H $,且 $ A E = B E $,试说明 $ A H = 2 B D $。
解：在$\triangle ABC$中，因为$AB = AC$，$AD$是高，所以$BD = CD = $$\frac{1}{2}BC$，$\angle ADC=90^{\circ}$。因为$BE$是高，所以$\angle AEB = \angle BEC = $$90^{\circ}$。所以$\angle C + \angle CAD = 90^{\circ}$，$\angle C + \angle CBE = 90^{\circ}$，因此$\angle CAD = \angle CBE$。在$\triangle AEH$和$\triangle BEC$中，因为$\angle HAE=\angle CBE$，$AE=BE$，$\angle AEH=\angle BEC$，所以$\triangle AEH \cong \triangle BEC$（ASA）。所以$AH = $$BC$，又因为$BC=2BD$，所以$AH=2BD$。

答案： 在$\triangle ABC$中，因为$AB = AC$，$AD$和$BE$是高，所以$BD = CD = \frac{1}{2}BC$，$\angle AEH = \angle BEC = 90^{\circ}$。所以$\angle C + \angle CAD = 90^{\circ}$，$\angle C + \angle CBE = 90^{\circ}$。所以$\angle CAD = \angle CBE$。
又因为$AE = BE$，所以$\triangle AEH \cong \triangle BEC(ASA)$。所以$AH = BC = 2BD$。

13. 如图 5 - 10,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A B = A C $,$ A D \perp B C $ 于点 $ D $。
(1)若 $ \angle C = 42 ^ { \circ } $,求 $ \angle B A D $ 的度数;因为$AB = AC$，$\angle C = 42^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C = 42^{\circ}$。因为$AD \perp BC$于点$D$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。所以$\angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ}$。
(2)若点 $ E $ 在边 $ A B $ 上,$ E F // A C $ 交 $ A D $ 的延长线于点 $ F $,试说明 $ \angle F = \angle B A F $。因为$EF // AC$，所以$\angle CAF = \angle F$。因为$AB = AC$，$AD \perp BC$，所以$\angle CAF = \angle BAF$。所以$\angle F = \angle BAF$。

答案：
(1) 因为$AB = AC$，$\angle C = 42^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C = 42^{\circ}$。
因为$AD \perp BC$于点$D$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
所以$\angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ}$。
(2) 因为$EF // AC$，所以$\angle CAF = \angle F$。
因为$AB = AC$，$AD \perp BC$，
所以$\angle CAF = \angle BAF$。
所以$\angle F = \angle BAF$。