《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

19. (8 分)已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} - x + \frac{3}{2} $。
(1)求它的顶点坐标及它与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象；
(3)根据图象,写出当 $ y ＜ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围。

答案：
解:
(1) $y=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x+1)^{2}+2$　顶点坐标为 $(-1,2)$；令 $y=-\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{3}{2}=0$，解得 $x_{1}=-3$，$x_{2}=1$。故它与 $x$ 轴的交点坐标為 $(-3,0)$，$(1,0)$；
(2) 列表如下:
　　　　x　　...　　−4　　−3　　−2　　−1　　0　　　1　　　2　　　...
　　　　y　　　...　　−2.5　　0　　1.5　　2　　1.5　　0　　−2.5　　...
描点、连线如图; 　
(3) $x＜-3$ 或 $x＞1$。

20. (8 分)如图,抛物线 $ y = ax^{2} + 2x + c $ 经过点 $ A(0, 3) $,$ B(-1, 0) $。请解答下列问题：
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)抛物线的顶点为点 $ D $,对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ E $,连接 $ BD $,求 $ BD $ 的长。

答案：
(1) 将点 $ A(0, 3) $，$ B(-1, 0) $ 代入抛物线 $ y = ax^2 + 2x + c $，得
$\begin{cases}3 = c \\0 = a - 2 + c\end{cases}$
解得 $ \begin{cases} a = -1 \\ c = 3 \end{cases} $，
$\therefore$ 抛物线的函数解析式为 $ y = -x^2 + 2x + 3 $。
(2) $ \because y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4 $，
$\therefore$ 顶点 $ D $ 的坐标为 $ (1, 4) $，对称轴为直线 $ x = 1 $，
$\therefore$ 点 $ E $ 的坐标为 $ (1, 0) $，则 $ DE = 4 $，$ OE = 1 $。
$\because B(-1, 0) $，$\therefore OB = 1$，$\therefore BE = OB + OE = 1 + 1 = 2$。
在 $ Rt\triangle BED $ 中，由勾股定理得
$ BD = \sqrt{BE^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $。