《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

21. (9 分)如图,抛物线 $ y = (x + 1)^{2} + k $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴相交于点 $ C(0, -3) $。
(1)求抛物线的对称轴及 $ k $ 值；
(2)求点 $ A $ 和点 $ B $ 的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点 $ P $,使得 $ PB + PC $ 的值最小,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1) 抛物线 $ y=(x+1)^{2}+k $ 的对称轴为直线 $ x=-1 $。把 $ C(0,-3) $ 代入 $ y=(x+1)^{2}+k $，得 $ -3=(0+1)^{2}+k $，即 $ -3=1+k $，解得 $ k=-4 $。
(2) 由
(1) 得抛物线解析式为 $ y=(x+1)^{2}-4 $。令 $ y=0 $，则 $ (x+1)^{2}-4=0 $，$ (x+1)^{2}=4 $，$ x+1=\pm2 $，解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-3 $。所以点 $ A(-3,0) $，点 $ B(1,0) $。
(3) 连接 $ AC $ 交对称轴于点 $ P $，此时 $ PB+PC $ 最小。设直线 $ AC $ 的解析式为 $ y=mx+n $，把 $ A(-3,0) $，$ C(0,-3) $ 代入，得 $ \begin{cases}-3m+n=0 \\ n=-3\end{cases} $，解得 $ \begin{cases}m=-1 \\ n=-3\end{cases} $，即直线 $ AC $ 的解析式为 $ y=-x-3 $。因为对称轴为 $ x=-1 $，把 $ x=-1 $ 代入 $ y=-x-3 $，得 $ y=-(-1)-3=-2 $，所以点 $ P(-1,-2) $。

22. (9 分)如图,已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A(-1, 0) $,$ B(3, 0) $ 两点。
(1)当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时,求 $ y $ 的取值范围；
(2)若 $ P $ 为抛物线上一点,若 $ S_{\triangle PAB} = 10 $,求出此时点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1) 把 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $ 分别代入 $ y = x^2 + bx + c $ 中，得
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得 $ \begin{cases} b = -2 \\ c = -3 \end{cases} $，
∴ 抛物线的解析式为 $ y = x^2 - 2x - 3 $。
∵ $ y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4 $，
∴ 顶点坐标为 $ (1, -4) $。
由图象可得，当 $ 0 ＜ x ＜ 3 $ 时，$ -4 \leq y ＜ 0 $。
(2)
∵ $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $，
∴ $ AB = 3 - (-1) = 4 $。
设 $ P(x, y) $，则 $ S_{\triangle PAB} = \frac{1}{2} × AB × |y| = \frac{1}{2} × 4 × |y| = 2|y| $。
∵ $ S_{\triangle PAB} = 10 $，
∴ $ 2|y| = 10 $，解得 $ |y| = 5 $，即 $ y = 5 $ 或 $ y = -5 $。
① 当 $ y = 5 $ 时，$ x^2 - 2x - 3 = 5 $，
整理得 $ x^2 - 2x - 8 = 0 $，
解得 $ x_1 = -2 $，$ x_2 = 4 $，
此时点 $ P $ 的坐标为 $ (-2, 5) $ 或 $ (4, 5) $。
② 当 $ y = -5 $ 时，$ x^2 - 2x - 3 = -5 $，
整理得 $ x^2 - 2x + 2 = 0 $，
∵ $ \Delta = (-2)^2 - 4 × 1 × 2 = -4 ＜ 0 $，
∴ 方程无解。
综上所述，点 $ P $ 的坐标为 $ (-2, 5) $ 或 $ (4, 5) $。

23. (10 分)网络销售已经成为一种热门的销售方式,某果园在网络平台上直播销售荔枝。已知该荔枝的成本为 $ 6 $ 元$/kg $,销售价格不高于 $ 18 $ 元$/kg $,且每售卖 $ 1kg $ 需向网络平台支付 $ 2 $ 元的相关费用。经过一段时间的直播销售发现,每日销售量 $ y(kg) $ 与销售价格 $ x $(元$/kg $)之间满足如图所示的一次函数关系。
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时,销售这种荔枝日获利最大？最大利润为多少元？

答案：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式为 $ y = kx + b $。将点 $ (8, 2200) $ 和 $ (14, 1600) $ 代入，得
$\begin{cases}8k + b = 2200 \\14k + b = 1600\end{cases}$
解得 $ \begin{cases} k = -100 \\ b = 3000 \end{cases} $，
$ \therefore y $ 与 $ x $ 的函数解析式为 $ y = -100x + 3000 $。
(2) 设销售这种荔枝日获利为 $ w $ 元。根据题意，得
$ w = (x - 6 - 2)(-100x + 3000) = -100x^2 + 3800x - 24000 = -100(x - 19)^2 + 12100 $。
抛物线开口向下，对称轴为直线 $ x = 19 $，当 $ x ＜ 19 $ 时，$ w $ 随 $ x $ 增大而增大。
$ \because x \leq 18 $，
$ \therefore $ 当 $ x = 18 $ 时，$ w $ 最大，最大值为 $ -100(18 - 19)^2 + 12100 = 12000 $。
答：当每千克荔枝的销售价格定为 18 元时，日获利最大，最大利润为 12000 元。