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1. 下列方程是一元二次方程的是(
A.$x^{2}-\frac{3}{x}= 0$
B.$z^{2}+x= 1$
C.$3x^{2}-8= 0$
D.$(x - 1)(x - 2)= x^{2}$
C
)A.$x^{2}-\frac{3}{x}= 0$
B.$z^{2}+x= 1$
C.$3x^{2}-8= 0$
D.$(x - 1)(x - 2)= x^{2}$
答案：
解：A. 方程中含有分式$\frac{3}{x}$，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
B. 方程含有两个未知数$z$和$x$，所以不是一元二次方程。
C. 方程$3x^{2}-8 = 0$只含有一个未知数$x$，且未知数的最高次数是$2$，是整式方程，所以是一元二次方程。
D. 化简$(x - 1)(x - 2)=x^{2}$得$x^{2}-3x + 2=x^{2}$，即$-3x + 2 = 0$，未知数的最高次数是$1$，所以不是一元二次方程。
结论：C
B. 方程含有两个未知数$z$和$x$，所以不是一元二次方程。
C. 方程$3x^{2}-8 = 0$只含有一个未知数$x$，且未知数的最高次数是$2$，是整式方程，所以是一元二次方程。
D. 化简$(x - 1)(x - 2)=x^{2}$得$x^{2}-3x + 2=x^{2}$，即$-3x + 2 = 0$，未知数的最高次数是$1$，所以不是一元二次方程。
结论：C
2. 将方程 $x^{2}+6x - 5= 0$ 的左边配成完全平方式后所得方程为(
A.$(x + 3)^{2}= 14$
B.$(x - 3)^{2}= 14$
C.$(x + 6)^{2}= \frac{1}{2}$
D.以上答案都不对
A
)A.$(x + 3)^{2}= 14$
B.$(x - 3)^{2}= 14$
C.$(x + 6)^{2}= \frac{1}{2}$
D.以上答案都不对
答案：
解：$x^{2}+6x - 5= 0$
$x^{2}+6x=5$
$x^{2}+6x+9=5+9$
$(x + 3)^{2}=14$
答案：A
$x^{2}+6x=5$
$x^{2}+6x+9=5+9$
$(x + 3)^{2}=14$
答案：A
3. 下列一元二次方程无实数根的是(
A.$x^{2}+x - 2= 0$
B.$x^{2}-2x= 0$
C.$x^{2}+x + 5= 0$
D.$x^{2}-2x + 1= 0$
C
)A.$x^{2}+x - 2= 0$
B.$x^{2}-2x= 0$
C.$x^{2}+x + 5= 0$
D.$x^{2}-2x + 1= 0$
答案：
解：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
A. $x^2 + x - 2 = 0$，$a = 1$，$b = 1$，$c = -2$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，有两个不相等的实数根。
B. $x^2 - 2x = 0$，即$x^2 - 2x + 0 = 0$，$a = 1$，$b = -2$，$c = 0$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4 ＞ 0$，有两个不相等的实数根。
C. $x^2 + x + 5 = 0$，$a = 1$，$b = 1$，$c = 5$，$\Delta = 1^2 - 4×1×5 = 1 - 20 = -19 ＜ 0$，无实数根。
D. $x^2 - 2x + 1 = 0$，$a = 1$，$b = -2$，$c = 1$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，有两个相等的实数根。
综上，无实数根的是C。
答案：C
A. $x^2 + x - 2 = 0$，$a = 1$，$b = 1$，$c = -2$，$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9 ＞ 0$，有两个不相等的实数根。
B. $x^2 - 2x = 0$，即$x^2 - 2x + 0 = 0$，$a = 1$，$b = -2$，$c = 0$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4 ＞ 0$，有两个不相等的实数根。
C. $x^2 + x + 5 = 0$，$a = 1$，$b = 1$，$c = 5$，$\Delta = 1^2 - 4×1×5 = 1 - 20 = -19 ＜ 0$，无实数根。
D. $x^2 - 2x + 1 = 0$，$a = 1$，$b = -2$，$c = 1$，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$，有两个相等的实数根。
综上，无实数根的是C。
答案：C
4. 2024 年以来,某厂生产的电子产品处于高速上升期,该厂生产一件产品起初的成本为 256 元,经过两次技术改进,现生产一件这种产品的成本比起初下降了 31 元. 设每次技术改进产品的成本下降率均为 $x$,则下列方程正确的是(
A.$256(1 - 2x)= 256 - 31$
B.$(256 - 31)(1 + x)^{2}= 256$
C.$256(1 - x)^{2}= 31$
D.$256(1 - x)^{2}= 256 - 31$
D
)A.$256(1 - 2x)= 256 - 31$
B.$(256 - 31)(1 + x)^{2}= 256$
C.$256(1 - x)^{2}= 31$
D.$256(1 - x)^{2}= 256 - 31$
答案：
解：起初成本为256元，每次下降率为$x$，第一次改进后成本为$256(1 - x)$元，第二次改进后成本为$256(1 - x)^2$元。现成本比起初下降31元，即现成本为$256 - 31$元，所以方程为$256(1 - x)^2 = 256 - 31$。
D
D
5. 若一元二次方程 $2x^{2}-mx + 2= 0$ 有一个根是 $x = 1$,则另一个根是(
A.$x = - 2$
B.$x = - 1$
C.$x = 1$
D.$x = 2$
C
)A.$x = - 2$
B.$x = - 1$
C.$x = 1$
D.$x = 2$
答案：
解：设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - mx + 2 = 0$中，$a = 2$，$c = 2$，已知一个根为$x = 1$，则：
$1 × x_1 = \frac{2}{2}$
$x_1 = 1$
答案：C
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - mx + 2 = 0$中，$a = 2$，$c = 2$，已知一个根为$x = 1$，则：
$1 × x_1 = \frac{2}{2}$
$x_1 = 1$
答案：C
6. 在解一道一元二次方程时,因印刷不清楚,小影在解题过程中仅看错了常数项,解得方程的两个根是 6 和 1；小冬仅看错了一次项的系数,解得方程的两个根是 - 2 和 - 5. 则原来的方程是(
A.$x^{2}+6x + 5= 0$
B.$x^{2}-6x - 10= 0$
C.$x^{2}-5x + 2= 0$
D.$x^{2}-7x + 10= 0$
D
)A.$x^{2}+6x + 5= 0$
B.$x^{2}-6x - 10= 0$
C.$x^{2}-5x + 2= 0$
D.$x^{2}-7x + 10= 0$
答案：
解：设原方程为$x^{2}+bx + c=0$。
小影看错常数项，解得根为6和1，此时一次项系数正确。由根与系数的关系得：$-b=6 + 1=7$，解得$b=-7$。
小冬看错一次项系数，解得根为$-2$和$-5$，此时常数项正确。由根与系数的关系得：$c=(-2)×(-5)=10$。
所以原方程为$x^{2}-7x + 10=0$。
D
小影看错常数项，解得根为6和1，此时一次项系数正确。由根与系数的关系得：$-b=6 + 1=7$，解得$b=-7$。
小冬看错一次项系数，解得根为$-2$和$-5$，此时常数项正确。由根与系数的关系得：$c=(-2)×(-5)=10$。
所以原方程为$x^{2}-7x + 10=0$。
D
7. 若菱形两条对角线的长分别是方程 $x^{2}-7x + 12= 0$ 的两根,则该菱形的面积是(
A.6
B.12
C.12 或 $\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6 或 $\frac{3\sqrt{7}}{2}$
A
)A.6
B.12
C.12 或 $\frac{3\sqrt{7}}{2}$
D.6 或 $\frac{3\sqrt{7}}{2}$
答案：
解：解方程$x^{2}-7x + 12= 0$，
因式分解得$(x - 3)(x - 4)=0$，
则$x - 3=0$或$x - 4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
因为菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，
所以该菱形的面积为$\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
答案：A
因式分解得$(x - 3)(x - 4)=0$，
则$x - 3=0$或$x - 4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
因为菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，
所以该菱形的面积为$\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
答案：A
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