《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

25. (12分)如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形ABC中,$ C A = C B $,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,过点B作射线$ B D \perp A B $,垂足为B.
【动手操作】
(1)如图②,若点P在线段CB上,画出射线PA,并将射线PA绕点P逆时针旋转$ 90 ^ { \circ } $与BD交于点E,根据题意在图中画出图形,图中$ \angle P B E $的度数为$135^{\circ}$；
【问题探究】
(2)根据(1)所画图形,探究线段PA与PE的数量关系；
【拓展延伸】
(3)如图③,若点P在射线CB上移动,将射线PA绕点P逆时针旋转$ 90 ^ { \circ } $与BD交于点E,探究线段BA,BP,BE之间的数量关系.

(2) $PA = PE$。理由如下：
$\because CA = CB$，$\angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle BAC = 45^{\circ}$。
过点$P$作$PM// AB$交$AC$于点$M$，
$\therefore \angle MPC = \angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle PMC = \angle BAC = 45^{\circ}$，
$\therefore CP = CM$，$\angle AMP = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} = \angle PBE$，
$\therefore CA - CM = CB - CP$，即$AM = PB$。
$\because$射线$PA$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得射线$PE$，
$\therefore \angle APE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPB = 90^{\circ} - \angle APC = \angle PAM$，
$\therefore \triangle APM \cong \triangle PEB(ASA)$，
$\therefore PA = PE$。
(3) 当点$P$在线段$BC$上时，$BA = \sqrt{2}BP + BE$；
当点$P$在线段$CB$的延长线上时，过点$P$作$PN\perp BC$交$BE$于点$N$，
$\because \angle ABD = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle PBN = 45^{\circ}$，$\triangle BPN$是等腰直角三角形，
$\therefore BP = NP$，$\angle PNB = 45^{\circ}$，$\angle ENP = 135^{\circ} = \angle ABP$，$BN = \sqrt{2}BP$。
$\because \angle APE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPN = 90^{\circ} - \angle APN = \angle APB$，
$\therefore \triangle EPN \cong \triangle APB(ASA)$，
$\therefore EN = BA$，
$\because BE = EN + BN$，
$\therefore BE = BA + \sqrt{2}BP$。
综上所述，当点$P$在线段$BC$上时，$BA = \sqrt{2}BP + BE$；当点$P$在$CB$延长线上时，$BE = BA + \sqrt{2}BP$。

答案：
(1) 画图如图②；$135^{\circ}$
(2) $PA = PE$。理由如下：
$\because CA = CB$，$\angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle BAC = 45^{\circ}$。
过点$P$作$PM// AB$交$AC$于点$M$，
$\therefore \angle MPC = \angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle PMC = \angle BAC = 45^{\circ}$，
$\therefore CP = CM$，$\angle AMP = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} = \angle PBE$，
$\therefore CA - CM = CB - CP$，即$AM = PB$。
$\because$射线$PA$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得射线$PE$，
$\therefore \angle APE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPB = 90^{\circ} - \angle APC = \angle PAM$，
$\therefore \triangle APM \cong \triangle PEB(ASA)$，
$\therefore PA = PE$。
(3) 当点$P$在线段$BC$上时，$BA = \sqrt{2}BP + BE$；
当点$P$在线段$CB$的延长线上时，过点$P$作$PN\perp BC$交$BE$于点$N$，
$\because \angle ABD = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle PBN = 45^{\circ}$，$\triangle BPN$是等腰直角三角形，
$\therefore BP = NP$，$\angle PNB = 45^{\circ}$，$\angle ENP = 135^{\circ} = \angle ABP$，$BN = \sqrt{2}BP$。
$\because \angle APE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EPN = 90^{\circ} - \angle APN = \angle APB$，
$\therefore \triangle EPN \cong \triangle APB(ASA)$，
$\therefore EN = BA$，
$\because BE = EN + BN$，
$\therefore BE = BA + \sqrt{2}BP$。
综上所述，当点$P$在线段$BC$上时，$BA = \sqrt{2}BP + BE$；当点$P$在$CB$延长线上时，$BE = BA + \sqrt{2}BP$。