《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

24. (10 分)如图,某学校准备围成一个中间有一道篱笆的长方形花圃,现有长为 $ 24m $ 的篱笆,一面靠墙(墙长为 $ 10m $),设花圃宽 $ AB $ 为 $ x(m) $,面积为 $ S(m^{2}) $。
(1)求 $ S $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2)如果要围成面积为 $ 45m^{2} $ 的花圃,那么 $ AB $ 的长是多少？
(3)能围出比 $ 45m^{2} $ 更大的花圃吗？若能,求出最大的面积；若不能,请说明理由。

答案：
(1)解：
∵AB=xm，
∴BC=(24-3x)m，
∴S=x(24-3x)=-3x²+24x。
∵墙长为10m，
∴0＜24-3x≤10，解得14/3≤x＜8。
∴S=-3x²+24x(14/3≤x＜8)。
(2)解：当S=45时，-3x²+24x=45，
整理得x²-8x+15=0，解得x₁=3，x₂=5。
∵14/3≤x＜8，
∴x=5。
答：AB的长为5m。
(3)解：能围成。
S=-3x²+24x=-3(x-4)²+48。
∵-3＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=4。
∵14/3≤x＜8在对称轴右侧，S随x增大而减小，
∴当x=14/3时，S最大=-3×(14/3-4)²+48=140/3=46⅔(m²)。
∵46⅔＞45，
∴能围出更大花圃，最大面积为46⅔m²。