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16. 已知$\odot O$的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,$\angle CAE = 30^{\circ}$,$OE = 2\sqrt{3}$,F 为 CD 上一点,$OF = 4$,则 CF 的长为______
4或8
.
答案：
解：连接OC，设OC=OA=R。
∵AB⊥CD，∠CAE=30°，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°。
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠COE=60°。
在Rt△OCE中，OE=2√3，∠COE=60°，
∴cos∠COE=OE/OC，即cos60°=2√3/R，
∴1/2=2√3/R，解得R=4√3，
∴OC=4√3。
CE=√(OC²-OE²)=√[(4√3)²-(2√3)²]=√(48-12)=√36=6。
在Rt△OEF中，OF=4，OE=2√3，
∴EF=√(OF²-OE²)=√(16-12)=√4=2。
∵F为CD上一点，
∴当F在E点上方时，CF=CE-EF=6-2=4；
当F在E点下方时，CF=CE+EF=6+2=8。
综上，CF的长为4或8。
∵AB⊥CD，∠CAE=30°，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°。
∵OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠COE=60°。
在Rt△OCE中，OE=2√3，∠COE=60°，
∴cos∠COE=OE/OC，即cos60°=2√3/R，
∴1/2=2√3/R，解得R=4√3，
∴OC=4√3。
CE=√(OC²-OE²)=√[(4√3)²-(2√3)²]=√(48-12)=√36=6。
在Rt△OEF中，OF=4，OE=2√3，
∴EF=√(OF²-OE²)=√(16-12)=√4=2。
∵F为CD上一点，
∴当F在E点上方时，CF=CE-EF=6-2=4；
当F在E点下方时，CF=CE+EF=6+2=8。
综上，CF的长为4或8。
17. 如图,将边长为 3 的正六边形铁丝框 ABCDEF 变形为以点 A 为圆心,AB 长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形 AFB(阴影部分)的面积为______.
18
答案：
解：正六边形边长为3，其周长为6×3=18。
变形为扇形AFB时，铁丝长度不变，即扇形的弧长BF等于正六边形周长减去AB和AF的长度。
因为AB=AF=3（正六边形边长），所以弧长BF=18 - 3 - 3=12。
扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为半径），这里半径$r=AB=3$，弧长$l=12$。
则扇形AFB的面积$S=\frac{1}{2}×12×3=18$。
18
变形为扇形AFB时，铁丝长度不变，即扇形的弧长BF等于正六边形周长减去AB和AF的长度。
因为AB=AF=3（正六边形边长），所以弧长BF=18 - 3 - 3=12。
扇形面积公式为$S=\frac{1}{2}lr$（其中$l$为弧长，$r$为半径），这里半径$r=AB=3$，弧长$l=12$。
则扇形AFB的面积$S=\frac{1}{2}×12×3=18$。
18
18. 如图,在$Rt\triangle AOB$中,$OB = 2\sqrt{3}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$\odot O$的半径为 1,点 P 是 AB 边上的动点,过点 P 作$\odot O$的一条切线 PQ(其中点 Q 为切点),则线段 PQ 长度的最小值为______
$2\sqrt{2}$
.
答案：
解：在$Rt\triangle AOB$中，$\angle A=30^\circ$，$OB=2\sqrt{3}$，
$\angle AOB=90^\circ$，则$\angle B=60^\circ$，
$OA=\frac{OB}{\tan30^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6$。
连接$OQ$，$OP$，
$\because PQ$是$\odot O$切线，
$\therefore OQ\perp PQ$，$OQ=1$，
$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{OP^2-1}$，
当$OP$最小时，$PQ$最小，此时$OP\perp AB$。
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=4\sqrt{3}$，
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}AB\cdot OP$，
$OP=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{6×2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=3$，
$PQ=\sqrt{3^2-1}=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
$\angle AOB=90^\circ$，则$\angle B=60^\circ$，
$OA=\frac{OB}{\tan30^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=6$。
连接$OQ$，$OP$，
$\because PQ$是$\odot O$切线，
$\therefore OQ\perp PQ$，$OQ=1$，
$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{OP^2-1}$，
当$OP$最小时，$PQ$最小，此时$OP\perp AB$。
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=4\sqrt{3}$，
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}AB\cdot OP$，
$OP=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{6×2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=3$，
$PQ=\sqrt{3^2-1}=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
19. (8 分)如图,某公园的石拱桥的桥拱是圆弧形(弓形),其跨度$AB = 24$ m,拱的半径$R = 13$ m,求拱高 CD.
答案：
解: 如答图，设 $\widehat{AB}$ 的圆心为点 $O$。由题意，得 $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 24 = 12(m)$，$OC = OA = OB = 13m$。在 $Rt\triangle AOD$ 中，由勾股定理，得 $OD = \sqrt{OA^{2} - AD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = 5(m)$，$\therefore CD = OC - OD = 13 -5 = 8(m)$。
答: 拱高 $CD$ 为 8 m。
解: 如答图，设 $\widehat{AB}$ 的圆心为点 $O$。由题意，得 $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 24 = 12(m)$，$OC = OA = OB = 13m$。在 $Rt\triangle AOD$ 中，由勾股定理，得 $OD = \sqrt{OA^{2} - AD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = 5(m)$，$\therefore CD = OC - OD = 13 -5 = 8(m)$。
答: 拱高 $CD$ 为 8 m。
20. (8 分)已知$\odot O$的两条弦 AB,CD 相交于点 M,且$AB = CD$.
(1)如图①,连接 AD. 求证：$AM = DM$；
(2)如图②,若$AB\perp CD$. 在$\widehat{BD}$上取一点 E,使$\widehat{BE} = \widehat{BC}$,AE 交 CD 于点 F,连接 AD,DE. 判断$\angle E与\angle DFE$是否相等,并说明理由.
(1)如图①,连接 AD. 求证：$AM = DM$；
(2)如图②,若$AB\perp CD$. 在$\widehat{BD}$上取一点 E,使$\widehat{BE} = \widehat{BC}$,AE 交 CD 于点 F,连接 AD,DE. 判断$\angle E与\angle DFE$是否相等,并说明理由.
答案：
(1) 证明：$\because AB=CD$，$\therefore \widehat{AB}=\widehat{CD}$，即$\widehat{AC}+\widehat{BC}=\widehat{BC}+\widehat{BD}$，$\therefore \widehat{AC}=\widehat{BD}$，$\therefore \angle D=\angle A$，$\therefore AM=DM$。
(2) $\angle E=\angle DFE$。理由如下：连接$AC$。$\because \widehat{BC}=\widehat{BE}$，$\therefore \angle CAB=\angle EAB$。$\because AB\perp CD$，$\therefore \angle AMC=\angle AMF=90^\circ$。在$\triangle ACM$和$\triangle AFM$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CAM=\angle FAM\\ AM=AM\\ \angle AMC=\angle AMF\end{array}\right.$，$\therefore \triangle ACM\cong\triangle AFM(ASA)$，$\therefore AC=AF$，$\therefore \angle C=\angle AFC$。$\because \angle C=\angle E$，$\angle AFC=\angle DFE$，$\therefore \angle E=\angle DFE$。
(1) 证明：$\because AB=CD$，$\therefore \widehat{AB}=\widehat{CD}$，即$\widehat{AC}+\widehat{BC}=\widehat{BC}+\widehat{BD}$，$\therefore \widehat{AC}=\widehat{BD}$，$\therefore \angle D=\angle A$，$\therefore AM=DM$。
(2) $\angle E=\angle DFE$。理由如下：连接$AC$。$\because \widehat{BC}=\widehat{BE}$，$\therefore \angle CAB=\angle EAB$。$\because AB\perp CD$，$\therefore \angle AMC=\angle AMF=90^\circ$。在$\triangle ACM$和$\triangle AFM$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle CAM=\angle FAM\\ AM=AM\\ \angle AMC=\angle AMF\end{array}\right.$，$\therefore \triangle ACM\cong\triangle AFM(ASA)$，$\therefore AC=AF$，$\therefore \angle C=\angle AFC$。$\because \angle C=\angle E$，$\angle AFC=\angle DFE$，$\therefore \angle E=\angle DFE$。
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