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1. 下列函数是二次函数的是(
A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = 3x^{2} - 1 $
C.$ y = (x + 1)^{2} - x^{2} $
D.$ y = 2x^{2} + \frac{1}{x} $
B
)A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = 3x^{2} - 1 $
C.$ y = (x + 1)^{2} - x^{2} $
D.$ y = 2x^{2} + \frac{1}{x} $
答案：
解：二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$）。
- A选项$y = 3x - 1$是一次函数，不符合。
- B选项$y = 3x^2 - 1$符合二次函数形式，其中$a = 3\neq0$，是二次函数。
- C选项$y=(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$，是一次函数，不符合。
- D选项$y = 2x^2 + \frac{1}{x}$含有分式，不是二次函数。
答案：B
- A选项$y = 3x - 1$是一次函数，不符合。
- B选项$y = 3x^2 - 1$符合二次函数形式，其中$a = 3\neq0$，是二次函数。
- C选项$y=(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1$，是一次函数，不符合。
- D选项$y = 2x^2 + \frac{1}{x}$含有分式，不是二次函数。
答案：B
2. 把二次函数 $ y = 2x^{2} - 8x + 3 $ 用配方法化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式时,应为(
A.$ y = 2(x - 2)^{2} + 5 $
B.$ y = 2(x - 2)^{2} - 1 $
C.$ y = 2(x - 2)^{2} - 5 $
D.$ y = 2(x - 2)^{2} + 7 $
C
)A.$ y = 2(x - 2)^{2} + 5 $
B.$ y = 2(x - 2)^{2} - 1 $
C.$ y = 2(x - 2)^{2} - 5 $
D.$ y = 2(x - 2)^{2} + 7 $
答案：
解：$y=2x^{2}-8x+3$
$=2(x^{2}-4x)+3$
$=2(x^{2}-4x+4-4)+3$
$=2[(x-2)^{2}-4]+3$
$=2(x-2)^{2}-8+3$
$=2(x-2)^{2}-5$
C
$=2(x^{2}-4x)+3$
$=2(x^{2}-4x+4-4)+3$
$=2[(x-2)^{2}-4]+3$
$=2(x-2)^{2}-8+3$
$=2(x-2)^{2}-5$
C
3. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 1 $,当 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时,函数的最大值为(
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
D
)A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案：
解：
二次函数 $ y = x^2 - 2x - 1 $，
化为顶点式：$ y = (x-1)^2 - 2 $，
对称轴为 $ x = 1 $，开口向上。
当 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时：
- 顶点坐标为 $ (1, -2) $，函数最小值为 $ -2 $；
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0^2 - 2 × 0 - 1 = -1 $；
- 当 $ x = 3 $ 时，$ y = 3^2 - 2 × 3 - 1 = 2 $。
比较得，函数最大值为 $ 2 $。
答案：D
二次函数 $ y = x^2 - 2x - 1 $，
化为顶点式：$ y = (x-1)^2 - 2 $，
对称轴为 $ x = 1 $，开口向上。
当 $ 0 \leq x \leq 3 $ 时：
- 顶点坐标为 $ (1, -2) $，函数最小值为 $ -2 $；
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0^2 - 2 × 0 - 1 = -1 $；
- 当 $ x = 3 $ 时，$ y = 3^2 - 2 × 3 - 1 = 2 $。
比较得，函数最大值为 $ 2 $。
答案：D
4. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 $ 10m/s $,经过 $ t s $ 时球距离地面的高度 $ h(m) $ 适用公式 $ h = 10t - 5t^{2} $,则球弹起后又回到地面所花的时间 $ t(s) $ 是(
A.$5$
B.$10$
C.$1$
D.$2$
D
)A.$5$
B.$10$
C.$1$
D.$2$
答案：
解：球回到地面时，高度$h = 0$，则有方程：
$10t - 5t^2 = 0$
提取公因式得：
$5t(2 - t) = 0$
解得：$t_1 = 0$（初始时刻，舍去），$t_2 = 2$
故球弹起后又回到地面所花的时间是$2s$。
答案：D
$10t - 5t^2 = 0$
提取公因式得：
$5t(2 - t) = 0$
解得：$t_1 = 0$（初始时刻，舍去），$t_2 = 2$
故球弹起后又回到地面所花的时间是$2s$。
答案：D
5. 顶点是 $ (-5, -1) $,且开口方向、形状与函数 $ y = -3x^{2} $ 的图象相同的抛物线是(
A.$ y = -3x^{2} - 5 $
B.$ y = -3(x - 5)^{2} + 1 $
C.$ y = -3(x + 5)^{2} - 1 $
D.$ y = -3(x + 5)^{2} + 1 $
C
)A.$ y = -3x^{2} - 5 $
B.$ y = -3(x - 5)^{2} + 1 $
C.$ y = -3(x + 5)^{2} - 1 $
D.$ y = -3(x + 5)^{2} + 1 $
答案：
解：因为抛物线的开口方向、形状与函数 $ y = -3x^2 $ 的图象相同，所以二次项系数为 $-3$。
抛物线的顶点式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中顶点坐标为 $(h, k)$。已知顶点是 $(-5, -1)$，即 $ h = -5 $，$ k = -1 $。
将 $ a = -3 $，$ h = -5 $，$ k = -1 $ 代入顶点式，可得：
$ y = -3(x - (-5))^2 + (-1) = -3(x + 5)^2 - 1 $
答案：C
抛物线的顶点式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，其中顶点坐标为 $(h, k)$。已知顶点是 $(-5, -1)$，即 $ h = -5 $，$ k = -1 $。
将 $ a = -3 $，$ h = -5 $，$ k = -1 $ 代入顶点式，可得：
$ y = -3(x - (-5))^2 + (-1) = -3(x + 5)^2 - 1 $
答案：C
6. 抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + c $ 经过三点 $ (-4, y_{1}) $,$ (-2, y_{2}) $,$ (\frac{1}{2}, y_{3}) $,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系是(
A.$ y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1} $
B.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
C.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
D.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
B
)A.$ y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1} $
B.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
C.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
D.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
答案：
解：抛物线对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2×2}=1$，且开口向上。
点$(-4,y_1)$到对称轴距离：$| -4 - 1| = 5$
点$(-2,y_2)$到对称轴距离：$| -2 - 1| = 3$
点$(\frac{1}{2},y_3)$到对称轴距离：$| \frac{1}{2} - 1| = 0.5$
因为$5 ＞ 3 ＞ 0.5$，所以$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
答案：B
点$(-4,y_1)$到对称轴距离：$| -4 - 1| = 5$
点$(-2,y_2)$到对称轴距离：$| -2 - 1| = 3$
点$(\frac{1}{2},y_3)$到对称轴距离：$| \frac{1}{2} - 1| = 0.5$
因为$5 ＞ 3 ＞ 0.5$，所以$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
答案：B
7. 将抛物线 $ y = (x - 2)^{2} - 4 $ 向右平移 $ a $ 个单位长度,再向上平移 $ b $ 个单位长度得到的图象对应的函数解析式为 $ y = (x - 3)^{2} - 7 $,则 $ a $,$ b $ 的值是(
A.$1$,$-3$
B.$1$,$2$
C.$1$,$3$
D.$-2$,$-3$
A
)A.$1$,$-3$
B.$1$,$2$
C.$1$,$3$
D.$-2$,$-3$
答案：
解：抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。
原抛物线 $ y = (x - 2)^2 - 4 $ 向右平移 $ a $ 个单位长度，得到 $ y = (x - 2 - a)^2 - 4 $；再向上平移 $ b $ 个单位长度，得到 $ y = (x - 2 - a)^2 - 4 + b $。
已知平移后函数解析式为 $ y = (x - 3)^2 - 7 $，则有：
$-2 - a = -3$，解得 $ a = 1 $；
$-4 + b = -7$，解得 $ b = -3 $。
答案：A
原抛物线 $ y = (x - 2)^2 - 4 $ 向右平移 $ a $ 个单位长度，得到 $ y = (x - 2 - a)^2 - 4 $；再向上平移 $ b $ 个单位长度，得到 $ y = (x - 2 - a)^2 - 4 + b $。
已知平移后函数解析式为 $ y = (x - 3)^2 - 7 $，则有：
$-2 - a = -3$，解得 $ a = 1 $；
$-4 + b = -7$，解得 $ b = -3 $。
答案：A
8. 已知二次函数 $ y = -x^{2} + 2x + 4 $,则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是(
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是 $ (1, 3) $
C.当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.图象与 $ y $ 轴的交点是 $ (4, 0) $
C
)A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是 $ (1, 3) $
C.当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.图象与 $ y $ 轴的交点是 $ (4, 0) $
答案：
解：
A.
∵二次项系数-1＜0，
∴图象开口向下，A错误；
B. 配方得$y=-(x-1)^2+5$，顶点坐标为(1,5)，B错误；
C.
∵对称轴为$x=1$，开口向下，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$增大而增大，C正确；
D. 令$x=0$，得$y=4$，与$y$轴交点为(0,4)，D错误。
答案：C
A.
∵二次项系数-1＜0，
∴图象开口向下，A错误；
B. 配方得$y=-(x-1)^2+5$，顶点坐标为(1,5)，B错误；
C.
∵对称轴为$x=1$，开口向下，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$增大而增大，C正确；
D. 令$x=0$，得$y=4$，与$y$轴交点为(0,4)，D错误。
答案：C
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