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22.(10 分)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(3m + 1)x + (\frac{3}{2}m)^{2}+\frac{1}{2}= 0$ 有实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)若 $m$ 为(1)中符合条件的最小正整数,设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为 $a,b$,求代数式 $\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b - 4a$ 的值.
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)若 $m$ 为(1)中符合条件的最小正整数,设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为 $a,b$,求代数式 $\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b - 4a$ 的值.
答案：
(1)解：根据题意，得
$\Delta=[-(3m + 1)]^{2}-4\left[\left(\frac{3}{2}m\right)^{2}+\frac{1}{2}\right]$
$=(3m + 1)^{2}-4\left(\frac{9}{4}m^{2}+\frac{1}{2}\right)$
$=9m^{2}+6m + 1 - 9m^{2}-2$
$=6m - 1$
因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$6m - 1\geq0$，解得$m\geq\frac{1}{6}$
(2)解：因为$m$为
(1)中符合条件的最小正整数，且$m\geq\frac{1}{6}$，所以$m = 1$
此时原方程为$x^{2}-(3×1 + 1)x+\left(\frac{3}{2}×1\right)^{2}+\frac{1}{2}=0$，即$x^{2}-4x+\frac{9}{4}+\frac{1}{2}=0$，化简得$x^{2}-4x+\frac{11}{4}=0$
因为$a,b$是该方程的两个实数根，所以$a + b = 4$，且$a^{2}-4a+\frac{11}{4}=0$，即$a^{2}-4a=-\frac{11}{4}$
则$\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b - 4a=\frac{1}{4}a^{2}(a + b)-4a=\frac{1}{4}a^{2}×4 - 4a=a^{2}-4a=-\frac{11}{4}$
(1)解：根据题意，得
$\Delta=[-(3m + 1)]^{2}-4\left[\left(\frac{3}{2}m\right)^{2}+\frac{1}{2}\right]$
$=(3m + 1)^{2}-4\left(\frac{9}{4}m^{2}+\frac{1}{2}\right)$
$=9m^{2}+6m + 1 - 9m^{2}-2$
$=6m - 1$
因为方程有实数根，所以$\Delta\geq0$，即$6m - 1\geq0$，解得$m\geq\frac{1}{6}$
(2)解：因为$m$为
(1)中符合条件的最小正整数，且$m\geq\frac{1}{6}$，所以$m = 1$
此时原方程为$x^{2}-(3×1 + 1)x+\left(\frac{3}{2}×1\right)^{2}+\frac{1}{2}=0$，即$x^{2}-4x+\frac{9}{4}+\frac{1}{2}=0$，化简得$x^{2}-4x+\frac{11}{4}=0$
因为$a,b$是该方程的两个实数根，所以$a + b = 4$，且$a^{2}-4a+\frac{11}{4}=0$，即$a^{2}-4a=-\frac{11}{4}$
则$\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b - 4a=\frac{1}{4}a^{2}(a + b)-4a=\frac{1}{4}a^{2}×4 - 4a=a^{2}-4a=-\frac{11}{4}$
23.(10 分)阅读材料：
为解方程 $(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$,我们可以将 $x^{2}-1$ 视为一个整体,然后设 $x^{2}-1= y$,则 $(x^{2}-1)^{2}= y^{2}$.
原方程化为 $y^{2}-5y + 4= 0$. ①
解得 $y_{1}= 1,y_{2}= 4$.
当 $y = 1$ 时,$x^{2}-1= 1$,解得 $x= \pm\sqrt{2}$.
当 $y = 4$ 时,$x^{2}-1= 4$,解得 $x= \pm\sqrt{5}$.
∴原方程的解是 $x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2},x_{3}= \sqrt{5},x_{4}= -\sqrt{5}$.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了
(2)解方程：
① $x^{4}-x^{2}-6= 0$；
② $\frac{4}{x^{2}-3x}= x^{2}-3x - 3$.
为解方程 $(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$,我们可以将 $x^{2}-1$ 视为一个整体,然后设 $x^{2}-1= y$,则 $(x^{2}-1)^{2}= y^{2}$.
原方程化为 $y^{2}-5y + 4= 0$. ①
解得 $y_{1}= 1,y_{2}= 4$.
当 $y = 1$ 时,$x^{2}-1= 1$,解得 $x= \pm\sqrt{2}$.
当 $y = 4$ 时,$x^{2}-1= 4$,解得 $x= \pm\sqrt{5}$.
∴原方程的解是 $x_{1}= \sqrt{2},x_{2}= -\sqrt{2},x_{3}= \sqrt{5},x_{4}= -\sqrt{5}$.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了
换元
法达到降次的目的,体现了转化
的数学思想；(2)解方程：
① $x^{4}-x^{2}-6= 0$；
② $\frac{4}{x^{2}-3x}= x^{2}-3x - 3$.
(2)① 设$x^{2}=y$，则$x^{4}=y^{2}$，原方程化为$y^{2}-y - 6=0$。解得$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$。当$y = 3$时，$x^{2}=3$，解得$x=\pm\sqrt{3}$；当$y=-2$时，$x^{2}=-2$，无实数根。$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}$，$x_{2}=-\sqrt{3}$；② 设$x^{2}-3x=a$，原方程化为$\frac{4}{a}=a - 3$。整理得$a^{2}-3a - 4=0$。解得$a_{1}=4$，$a_{2}=-1$。当$a = 4$时，$x^{2}-3x=4$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$；当$a=-1$时，$x^{2}-3x=-1$，解得$x_{3}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，$x_{4}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$。$\therefore$原方程的解为$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$，$x_{4}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$。
答案：
(1) 换元 转化
(2) ① 设 $ x^{2} = y $，则 $ x^{4} = y^{2} $，原方程化为 $ y^{2} - y - 6 = 0 $。解得 $ y_{1} = 3 $，$ y_{2} = -2 $。当 $ y = 3 $ 时，$ x^{2} = 3 $，解得 $ x = \pm \sqrt{3} $；当 $ y = -2 $ 时，$ x^{2} = -2 $，无实数根。$\therefore$ 原方程的解为 $ x_{1} = \sqrt{3} $，$ x_{2} = -\sqrt{3} $；② 设 $ x^{2} - 3x = a $，原方程化为 $ \frac{4}{a} = a - 3 $。整理得 $ a^{2} - 3a - 4 = 0 $。解得 $ a_{1} = 4 $，$ a_{2} = -1 $。当 $ a = 4 $ 时，$ x^{2} - 3x = 4 $，解得 $ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = -1 $；当 $ a = -1 $ 时，$ x^{2} - 3x = -1 $，解得 $ x_{3} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $，$ x_{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $。$\therefore$ 原方程的解为 $ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = -1 $，$ x_{3} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $，$ x_{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $。
(1) 换元 转化
(2) ① 设 $ x^{2} = y $，则 $ x^{4} = y^{2} $，原方程化为 $ y^{2} - y - 6 = 0 $。解得 $ y_{1} = 3 $，$ y_{2} = -2 $。当 $ y = 3 $ 时，$ x^{2} = 3 $，解得 $ x = \pm \sqrt{3} $；当 $ y = -2 $ 时，$ x^{2} = -2 $，无实数根。$\therefore$ 原方程的解为 $ x_{1} = \sqrt{3} $，$ x_{2} = -\sqrt{3} $；② 设 $ x^{2} - 3x = a $，原方程化为 $ \frac{4}{a} = a - 3 $。整理得 $ a^{2} - 3a - 4 = 0 $。解得 $ a_{1} = 4 $，$ a_{2} = -1 $。当 $ a = 4 $ 时，$ x^{2} - 3x = 4 $，解得 $ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = -1 $；当 $ a = -1 $ 时，$ x^{2} - 3x = -1 $，解得 $ x_{3} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $，$ x_{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $。$\therefore$ 原方程的解为 $ x_{1} = 4 $，$ x_{2} = -1 $，$ x_{3} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $，$ x_{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $。
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