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9. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 与直线 $ y = mx + n $ 交于 $ A(-1, p) $,$ B(3, q) $ 两点,则不等式 $ ax^{2} - mx + c ＞ n $ 的解集为(
A.$ x ＞ -1 $
B.$ x ＜ 3 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 3 $
C
)A.$ x ＞ -1 $
B.$ x ＜ 3 $
C.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 3 $
答案：
解：不等式 $ax^{2} - mx + c ＞ n$ 可变形为 $ax^{2} + c ＞ mx + n$。
因为抛物线 $y = ax^{2} + c$ 与直线 $y = mx + n$ 交于 $A(-1, p)$，$B(3, q)$ 两点，观察图像可知，当 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 3$ 时，抛物线在直线上方，即 $ax^{2} + c ＞ mx + n$。
所以不等式 $ax^{2} - mx + c ＞ n$ 的解集为 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 3$。
答案：C
因为抛物线 $y = ax^{2} + c$ 与直线 $y = mx + n$ 交于 $A(-1, p)$，$B(3, q)$ 两点，观察图像可知，当 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 3$ 时，抛物线在直线上方，即 $ax^{2} + c ＞ mx + n$。
所以不等式 $ax^{2} - mx + c ＞ n$ 的解集为 $x ＜ -1$ 或 $x ＞ 3$。
答案：C
10. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (1, 0) $,对称轴为直线 $ x = -1 $。下列四个结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ 4a - 2b + c ＜ 0 $；③ $ 3a + c = 0 $；④当 $ -3 ＜ x ＜ 1 $ 时,$ ax^{2} + bx + c ＜ 0 $。其中,正确结论的有( )
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
D
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案：
解：①由抛物线开口向上得$a＞0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$得$b=2a＞0$，与$y$轴交于负半轴得$c＜0$，则$abc＜0$，①正确；
②抛物线与$x$轴交点$(1,0)$，对称轴$x=-1$，另一交点为$(-3,0)$，当$x=-2$时，$y=4a - 2b + c$，由图象知$x=-2$时$y＜0$，②正确；
③将$(1,0)$代入得$a + b + c=0$，又$b=2a$，则$3a + c=0$，③正确；
④由抛物线与$x$轴交点$(-3,0)$，$(1,0)$及开口向上，知当$-3＜x＜1$时，$y＜0$，④正确。
综上，正确结论有4个。
答案：D
②抛物线与$x$轴交点$(1,0)$，对称轴$x=-1$，另一交点为$(-3,0)$，当$x=-2$时，$y=4a - 2b + c$，由图象知$x=-2$时$y＜0$，②正确；
③将$(1,0)$代入得$a + b + c=0$，又$b=2a$，则$3a + c=0$，③正确；
④由抛物线与$x$轴交点$(-3,0)$，$(1,0)$及开口向上，知当$-3＜x＜1$时，$y＜0$，④正确。
综上，正确结论有4个。
答案：D
11. 抛物线 $ y = -(x + 2)^{2} + 6 $ 与 $ y $ 轴的交点坐标是
(0,2)
。
答案：
解：当$x=0$时，$y=-(0 + 2)^{2} + 6 = -4 + 6 = 2$，故交点坐标为$(0,2)$。
12. 如果点 $ A(-2, y_{1}) $ 和点 $ B(2, y_{2}) $ 是抛物线 $ y = (x + 3)^{2} $ 上的两点,那么 $ y_{1} $
＜
$ y_{2} $。(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
答案：
解：当$x=-2$时，$y_{1}=(-2 + 3)^{2}=1^{2}=1$；
当$x=2$时，$y_{2}=(2 + 3)^{2}=5^{2}=25$。
因为$1＜25$，所以$y_{1}＜y_{2}$。
$＜$
当$x=2$时，$y_{2}=(2 + 3)^{2}=5^{2}=25$。
因为$1＜25$，所以$y_{1}＜y_{2}$。
$＜$
13. 二次函数 $ y = x^{2} - 2x + m $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个公共点,则 $ m $ 的值为
1
。
答案：
解：对于二次函数 $ y = x^2 - 2x + m $，其判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $，其中 $ a = 1 $，$ b = -2 $，$ c = m $。
因为函数图象与 $ x $ 轴只有一个公共点，所以 $ \Delta = 0 $。
即 $ (-2)^2 - 4 × 1 × m = 0 $，
$ 4 - 4m = 0 $，
解得 $ m = 1 $。
1
因为函数图象与 $ x $ 轴只有一个公共点，所以 $ \Delta = 0 $。
即 $ (-2)^2 - 4 × 1 × m = 0 $，
$ 4 - 4m = 0 $，
解得 $ m = 1 $。
1
14. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 图象上部分点的横坐标 $ x $ 与纵坐标 $ y $ 的对应值如下表所示。那么它的图象与 $ x $ 轴的另一个交点坐标是______。
| $ x $ | …$ $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 0 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ x $ | …$ $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 0 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 3 $ | …$ $ |
(3,0)
答案：
解：由表可知，当$x=0$时，$y=3$；当$x=2$时，$y=3$。
因为二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，所以对称轴为直线$x = \frac{0 + 2}{2} = 1$。
已知二次函数图象与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，设另一个交点坐标为$(x, 0)$。
由于对称轴为直线$x=1$，则$\frac{-1 + x}{2} = 1$，解得$x = 3$。
所以它的图象与$x$轴的另一个交点坐标是$(3,0)$。
$(3,0)$
因为二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，所以对称轴为直线$x = \frac{0 + 2}{2} = 1$。
已知二次函数图象与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，设另一个交点坐标为$(x, 0)$。
由于对称轴为直线$x=1$，则$\frac{-1 + x}{2} = 1$，解得$x = 3$。
所以它的图象与$x$轴的另一个交点坐标是$(3,0)$。
$(3,0)$
15. 已知二次函数 $ y = x^{2} - (m + 1)x + 1 $,当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ m $ 的取值范围是
$ m \leq 1 $
。
答案：
解：二次函数 $ y = x^{2} - (m + 1)x + 1 $ 的对称轴为 $ x = \frac{m + 1}{2} $。
因为二次项系数 $ 1 ＞ 0 $，抛物线开口向上，当 $ x ＞ \frac{m + 1}{2} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
已知当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，所以 $ \frac{m + 1}{2} \leq 1 $。
解得 $ m + 1 \leq 2 $，即 $ m \leq 1 $。
$ m \leq 1 $
因为二次项系数 $ 1 ＞ 0 $，抛物线开口向上，当 $ x ＞ \frac{m + 1}{2} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
已知当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，所以 $ \frac{m + 1}{2} \leq 1 $。
解得 $ m + 1 \leq 2 $，即 $ m \leq 1 $。
$ m \leq 1 $
16. 对称轴与 $ y $ 轴平行且经过原点 $ O $ 的抛物线也经过 $ A(2, m) $,$ B(4, m) $。若 $ \triangle AOB $ 的面积为 $ 4 $,则该抛物线对应的函数解析式为______。
$y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x$或$y=\frac{1}{2}x^{2}-3x$
答案：
解：设抛物线解析式为$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$。
因为抛物线对称轴与$y$轴平行且经过$A(2,m)$，$B(4,m)$，所以对称轴为直线$x=\frac{2+4}{2}=3$，即$-\frac{b}{2a}=3$，得$b=-6a$。
又因为抛物线经过原点$O(0,0)$，所以$c=0$，解析式为$y=ax^{2}-6ax$。
$A$、$B$两点纵坐标均为$m$，所以$AB$平行于$x$轴，$AB=4 - 2=2$。
$\triangle AOB$的面积为$4$，以$AB$为底，高为$|m|$，则$\frac{1}{2}×2×|m|=4$，解得$|m|=4$，$m=\pm4$。
当$m=4$时，把$A(2,4)$代入$y=ax^{2}-6ax$，得$4=4a - 12a$，$-8a=4$，$a=-\frac{1}{2}$，$b=-6×(-\frac{1}{2})=3$，解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x$。
当$m=-4$时，把$A(2,-4)$代入$y=ax^{2}-6ax$，得$-4=4a - 12a$，$-8a=-4$，$a=\frac{1}{2}$，$b=-6×\frac{1}{2}=-3$，解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-3x$。
综上，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x$或$y=\frac{1}{2}x^{2}-3x$。
因为抛物线对称轴与$y$轴平行且经过$A(2,m)$，$B(4,m)$，所以对称轴为直线$x=\frac{2+4}{2}=3$，即$-\frac{b}{2a}=3$，得$b=-6a$。
又因为抛物线经过原点$O(0,0)$，所以$c=0$，解析式为$y=ax^{2}-6ax$。
$A$、$B$两点纵坐标均为$m$，所以$AB$平行于$x$轴，$AB=4 - 2=2$。
$\triangle AOB$的面积为$4$，以$AB$为底，高为$|m|$，则$\frac{1}{2}×2×|m|=4$，解得$|m|=4$，$m=\pm4$。
当$m=4$时，把$A(2,4)$代入$y=ax^{2}-6ax$，得$4=4a - 12a$，$-8a=4$，$a=-\frac{1}{2}$，$b=-6×(-\frac{1}{2})=3$，解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x$。
当$m=-4$时，把$A(2,-4)$代入$y=ax^{2}-6ax$，得$-4=4a - 12a$，$-8a=-4$，$a=\frac{1}{2}$，$b=-6×\frac{1}{2}=-3$，解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-3x$。
综上，抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x$或$y=\frac{1}{2}x^{2}-3x$。
17. 如图,这是某公园一座抛物线形拱桥,按如图所示建立坐标系,得到函数 $ y = -\frac{1}{25}x^{2} $,在正常水位时水面宽 $ AB = 30m $,当水位上升 $ 5m $ 时,则水面宽 $ CD $ 为
20
$ m $。
答案：
解：在正常水位时，水面宽 $ AB = 30m $，则点 $ A $ 的横坐标为 $ -15 $，点 $ B $ 的横坐标为 $ 15 $。
将 $ x = 15 $ 代入 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $，得 $ y = -\frac{1}{25} × 15^2 = -9 $，即正常水位时水面的纵坐标为 $ -9 $。
当水位上升 $ 5m $ 时，此时水面的纵坐标为 $ -9 + 5 = -4 $。
令 $ y = -4 $，则 $ -\frac{1}{25}x^2 = -4 $，解得 $ x^2 = 100 $，$ x = \pm 10 $。
所以水面宽 $ CD = 10 - (-10) = 20m $。
答案：20
将 $ x = 15 $ 代入 $ y = -\frac{1}{25}x^2 $，得 $ y = -\frac{1}{25} × 15^2 = -9 $，即正常水位时水面的纵坐标为 $ -9 $。
当水位上升 $ 5m $ 时，此时水面的纵坐标为 $ -9 + 5 = -4 $。
令 $ y = -4 $，则 $ -\frac{1}{25}x^2 = -4 $，解得 $ x^2 = 100 $，$ x = \pm 10 $。
所以水面宽 $ CD = 10 - (-10) = 20m $。
答案：20
18. 将二次函数 $ y = x^{2} - 4x - 3 $ 的图象向上平移 $ a $ 个单位长度,当抛物线经过点 $ (0, 1) $ 时,$ a $ 的值为
4
；当抛物线与两坐标轴有且只有 $ 2 $ 个公共点时,$ a $ 的值为3或7
。
答案：
解：将二次函数$y = x^{2}-4x - 3$的图象向上平移$a$个单位长度，得到的函数解析式为$y=x^{2}-4x - 3 + a$。
当抛物线经过点$(0,1)$时，把$x = 0$，$y = 1$代入$y=x^{2}-4x - 3 + a$，得$1=0 - 0 - 3 + a$，解得$a = 4$。
当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时：
- 抛物线过原点时，把$(0,0)$代入$y=x^{2}-4x - 3 + a$，得$0=0 - 0 - 3 + a$，解得$a = 3$。此时抛物线与$x$轴有两个交点（其中一个为原点），与$y$轴有一个交点（原点），共2个公共点。
- 抛物线与$x$轴只有一个交点时，$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(-3 + a)=0$，即$16 + 12 - 4a=0$，$28 - 4a=0$，解得$a = 7$。此时抛物线与$x$轴有一个交点，与$y$轴有一个交点，共2个公共点。
综上，$a$的值为$3$或$7$。
4；3或7
当抛物线经过点$(0,1)$时，把$x = 0$，$y = 1$代入$y=x^{2}-4x - 3 + a$，得$1=0 - 0 - 3 + a$，解得$a = 4$。
当抛物线与两坐标轴有且只有2个公共点时：
- 抛物线过原点时，把$(0,0)$代入$y=x^{2}-4x - 3 + a$，得$0=0 - 0 - 3 + a$，解得$a = 3$。此时抛物线与$x$轴有两个交点（其中一个为原点），与$y$轴有一个交点（原点），共2个公共点。
- 抛物线与$x$轴只有一个交点时，$\Delta=(-4)^{2}-4×1×(-3 + a)=0$，即$16 + 12 - 4a=0$，$28 - 4a=0$，解得$a = 7$。此时抛物线与$x$轴有一个交点，与$y$轴有一个交点，共2个公共点。
综上，$a$的值为$3$或$7$。
4；3或7
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