《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

19.(8 分)解下列方程：
(1)$\frac{1}{2}(x - 5)^{2}-18= 0$；
(2)$3(x - 2)^{2}= x^{2}-2x$.

答案：
(1)解：$\frac{1}{2}(x - 5)^{2} = 18$
$(x - 5)^{2} = 36$
$x - 5 = \pm 6$
$x_1 = 11$，$x_2 = -1$
(2)解：$3(x - 2)^{2} - x(x - 2) = 0$
$(x - 2)[3(x - 2) - x] = 0$
$(x - 2)(2x - 6) = 0$
$x - 2 = 0$或$2x - 6 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = 3$

20.(8 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-(2k + 4)x + k - 6= 0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)当 $k = 1$ 时,用配方法解方程.

答案：
(1)解：
∵关于x的一元二次方程$kx^{2}-(2k + 4)x + k - 6= 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta =[-(2k + 4)]^{2}-4k(k - 6)＞0$且$k\neq0$，
$\Delta=(2k + 4)^{2}-4k(k - 6)=4k^{2}+16k + 16 - 4k^{2}+24k=40k + 16＞0$，
$40k＞ - 16$，解得$k＞-\frac{2}{5}$，
∴$k$的取值范围是$k＞-\frac{2}{5}$且$k\neq0$；
(2)解：当$k = 1$时，原方程为$x^{2}-(2×1 + 4)x + 1 - 6=0$，即$x^{2}-6x - 5=0$，
移项得$x^{2}-6x=5$，
配方得$x^{2}-6x + 9=5 + 9$，即$(x - 3)^{2}=14$，
$x - 3=\pm\sqrt{14}$，
$x_{1}=3 + \sqrt{14}$，$x_{2}=3 - \sqrt{14}$。

21.(8 分)定义：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c= 0(a\neq0)$ 满足 $a - b + c= 0$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程 $2x^{2}+5x + 3= 0$ 是否为“黄金方程”；
(2)已知 $3x^{2}-ax + b= 0$ 是关于 $x$ 的“黄金方程”,若 $a$ 是此“黄金方程”的一个根,求 $a$ 的值.

答案：
(1) 解：对于方程 $2x^{2}+5x + 3= 0$，其中 $a=2$，$b=5$，$c=3$。
计算 $a - b + c = 2 - 5 + 3 = 0$，
$\therefore$ 该方程是“黄金方程”。
(2) 解：$\because 3x^{2}-ax + b= 0$ 是“黄金方程”，
$\therefore 3 - (-a) + b = 0$，即 $b = -a - 3$。
将 $b = -a - 3$ 代入原方程，得 $3x^{2}-ax - a - 3 = 0$。
$\because a$ 是方程的根，
$\therefore 3a^{2}-a \cdot a - a - 3 = 0$，即 $2a^{2}-a - 3 = 0$。
解方程 $2a^{2}-a - 3 = 0$，
因式分解得 $(2a - 3)(a + 1) = 0$，
解得 $a = \frac{3}{2}$ 或 $a = -1$。
综上，$a$ 的值为 $-1$ 或 $\frac{3}{2}$。