《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

22.(9 分)某超市以每件 10 元的价格购进一种文具,销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于 19 元。经过市场调查发现,该文具每天的销售数量 $y$(件)与销售单价 $x$(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示。
|销售单价 $x/$ 元|…|12|13|14|…|
|每天销售数量 $y/$ 件|…|36|34|32|…|
(1)直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利 192 元,则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利 $w$(元),当销售单价为多少元时,每天获利最大？最大利润是多少元？

答案：
(1) 设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$，将$(12, 36)$，$(13, 34)$代入得：$\begin{cases}12k + b = 36 \\13k + b = 34 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 2 \\b = 60 \end{cases}$，所以$y = - 2x + 60$，又因为销售单价不低于进价且不高于$19$元，即$10 \leq x \leq 19$，故函数解析式为$y = - 2x + 60(10 \leq x \leq 19)$；
(2) 根据题意，得$(x - 10)( - 2x + 60)=192$，整理得$x^{2}-40x + 396 = 0$，解得$x_{1}=18$，$x_{2}=22$，因为$10 \leq x \leq 19$，所以$x = 18$，答：销售单价为$18$元；
(3) $w=(x - 10)( - 2x + 60)=-2x^{2}+80x - 600=-2(x - 20)^{2}+200$，因为$a=-2\lt0$，对称轴为$x = 20$，当$10 \leq x \leq 19$时，$w$随$x$的增大而增大，所以当$x = 19$时，$w_{最大}=-2(19 - 20)^{2}+200 = 198$，答：当销售单价为$19$元时，每天获利最大，最大利润是$198$元。

23.(10 分)某游乐场的圆形喷水池中心 $O$ 处有一雕塑 $OA$。从点 $A$ 向四周喷水,喷出的水柱为抛物线,且形状相同。如图,以水平方向为 $x$ 轴,点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系,点 $A$ 在 $y$ 轴上,$x$ 轴上的点 $C$,$D$ 为水柱的两个落水点,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为 $y = -\frac{1}{6}(x - 5)^{2}+6$。
(1)求雕塑高 $OA$；
(2)求落水点 $C$,$D$ 之间的距离；
(3)若需要在 $OD$ 上的点 $E$ 处竖立雕塑 $EF$,$OE = 10m$,$EF = 1.8m$,$EF\perp OD$。问：雕塑 $EF$ 顶部 $F$ 是否会碰到水柱？请通过计算说明。

答案：
(1) 解：由题意，点 $ A $ 在 $ y $ 轴上，令 $ x=0 $，则 $ y=-\frac{1}{6}(0 - 5)^2 + 6=-\frac{25}{6}+6=\frac{11}{6} $，$\therefore OA=\frac{11}{6}\ \text{m}$。答：雕塑高 $ OA $ 为 $\frac{11}{6}\ \text{m}$。
(2) 解：由题意，点 $ D $ 在 $ x $ 轴上，令 $ y=0 $，则 $ -\frac{1}{6}(x - 5)^2 + 6=0 $，$(x - 5)^2=36$，$x - 5=\pm6$，解得 $ x_1=11$，$x_2=-1$（不合题意，舍去），$\therefore OD=11\ \text{m}$。$\because$ 抛物线关于 $ y $ 轴对称，$\therefore OC=OD=11\ \text{m}$，$\therefore CD=OC + OD=22\ \text{m}$。答：落水点 $ C$，$D$ 之间的距离为 $22\ \text{m}$。
(3) 解：$\because OE=10\ \text{m}$，$\therefore$ 点 $ E $ 的横坐标为 $10$。当 $ x=10$ 时，$y=-\frac{1}{6}(10 - 5)^2 + 6=-\frac{25}{6}+6=\frac{11}{6}\approx1.83\ \text{m}$。$\because EF=1.8\ \text{m}$，$1.83＞1.8$，$\therefore$ 雕塑 $ EF $ 顶部 $ F $ 不会碰到水柱。答：雕塑 $ EF $ 顶部 $ F $ 不会碰到水柱。