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8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2k - 2)x + k^{2}-1= 0$ 有两个实数根,则 $\sqrt{(k - 1)^{2}}-(\sqrt{2 - k})^{2}$ 的化简结果是(
A.- 1
B.1
C.- 1 - 2k
D.2k - 3
A
)A.- 1
B.1
C.- 1 - 2k
D.2k - 3
答案：
解：
∵方程 $x^2 - (2k - 2)x + k^2 - 1 = 0$ 有两个实数根，
∴判别式 $\Delta = [-(2k - 2)]^2 - 4 × 1 × (k^2 - 1) \geq 0$，
即 $4(k - 1)^2 - 4(k^2 - 1) \geq 0$，
化简得 $4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 + 4 \geq 0$，
$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 \geq 0$，
$-8k + 8 \geq 0$，解得 $k \leq 1$。
∵ $k \leq 1$，
∴ $k - 1 \leq 0$，$2 - k \geq 1 ＞ 0$，
则 $\sqrt{(k - 1)^2} = |k - 1| = 1 - k$，
$(\sqrt{2 - k})^2 = 2 - k$，
∴原式 $= (1 - k) - (2 - k) = 1 - k - 2 + k = -1$。
答案：A
∵方程 $x^2 - (2k - 2)x + k^2 - 1 = 0$ 有两个实数根，
∴判别式 $\Delta = [-(2k - 2)]^2 - 4 × 1 × (k^2 - 1) \geq 0$，
即 $4(k - 1)^2 - 4(k^2 - 1) \geq 0$，
化简得 $4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 + 4 \geq 0$，
$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 + 4 \geq 0$，
$-8k + 8 \geq 0$，解得 $k \leq 1$。
∵ $k \leq 1$，
∴ $k - 1 \leq 0$，$2 - k \geq 1 ＞ 0$，
则 $\sqrt{(k - 1)^2} = |k - 1| = 1 - k$，
$(\sqrt{2 - k})^2 = 2 - k$，
∴原式 $= (1 - k) - (2 - k) = 1 - k - 2 + k = -1$。
答案：A
9. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-x - 2025= 0$ 的两个实数根,则代数式 $x_{1}^{3}-2025x_{1}+x_{2}^{2}$ 的值是(
A.4051
B.4049
C.2025
D.1
A
)A.4051
B.4049
C.2025
D.1
答案：
解：
∵$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-x - 2025= 0$的两个实数根
∴$x_{1}^{2}=x_{1}+2025$，$x_{2}^{2}=x_{2}+2025$，且由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=1$
$x_{1}^{3}-2025x_{1}+x_{2}^{2}$
$=x_{1}\cdot x_{1}^{2}-2025x_{1}+x_{2}^{2}$
$=x_{1}(x_{1}+2025)-2025x_{1}+x_{2}+2025$
$=x_{1}^{2}+2025x_{1}-2025x_{1}+x_{2}+2025$
$=x_{1}^{2}+x_{2}+2025$
$=(x_{1}+2025)+x_{2}+2025$
$=x_{1}+x_{2}+4050$
$=1 + 4050=4051$
答案：A
∵$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-x - 2025= 0$的两个实数根
∴$x_{1}^{2}=x_{1}+2025$，$x_{2}^{2}=x_{2}+2025$，且由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=1$
$x_{1}^{3}-2025x_{1}+x_{2}^{2}$
$=x_{1}\cdot x_{1}^{2}-2025x_{1}+x_{2}^{2}$
$=x_{1}(x_{1}+2025)-2025x_{1}+x_{2}+2025$
$=x_{1}^{2}+2025x_{1}-2025x_{1}+x_{2}+2025$
$=x_{1}^{2}+x_{2}+2025$
$=(x_{1}+2025)+x_{2}+2025$
$=x_{1}+x_{2}+4050$
$=1 + 4050=4051$
答案：A
10. 使得关于 $x$ 的不等式组 $\begin{cases}6x - a\geqslant - 10,\\-1+\frac{1}{2}x\lt -\frac{1}{8}x+\frac{3}{2}\end{cases} $ 有且只有 4 个整数解,且关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 5)x^{2}+4x + 1= 0$ 有实数根的所有整数 $a$ 的值之和为(
A.35
B.30
C.26
D.21
B
)A.35
B.30
C.26
D.21
答案：
解：解不等式组
$\begin{cases}6x - a \geq -10 \\-1 + \frac{1}{2}x ＜ -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2}\end{cases}$
解第一个不等式：$6x \geq a - 10$，得$x \geq \frac{a - 10}{6}$。
解第二个不等式：$\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}x ＜ \frac{3}{2} + 1$，$\frac{5}{8}x ＜ \frac{5}{2}$，得$x ＜ 4$。
所以不等式组的解集为$\frac{a - 10}{6} \leq x ＜ 4$。
因为不等式组有且只有4个整数解，整数解为3，2，1，0，所以$-1 ＜ \frac{a - 10}{6} \leq 0$，解得$4 ＜ a \leq 10$。
对于一元二次方程$(a - 5)x^2 + 4x + 1 = 0$，有实数根需满足：
$\begin{cases}a - 5 \neq 0 \\\Delta = 16 - 4(a - 5) \geq 0\end{cases}$
即$\begin{cases}a \neq 5 \\16 - 4a + 20 \geq 0 \Rightarrow a \leq 9\end{cases}$
综上，$a$的取值范围为$4 ＜ a \leq 9$且$a \neq 5$，整数$a$的值为6，7，8，9。
所有整数$a$的值之和为$6 + 7 + 8 + 9 = 30$。
答案：B
$\begin{cases}6x - a \geq -10 \\-1 + \frac{1}{2}x ＜ -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2}\end{cases}$
解第一个不等式：$6x \geq a - 10$，得$x \geq \frac{a - 10}{6}$。
解第二个不等式：$\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}x ＜ \frac{3}{2} + 1$，$\frac{5}{8}x ＜ \frac{5}{2}$，得$x ＜ 4$。
所以不等式组的解集为$\frac{a - 10}{6} \leq x ＜ 4$。
因为不等式组有且只有4个整数解，整数解为3，2，1，0，所以$-1 ＜ \frac{a - 10}{6} \leq 0$，解得$4 ＜ a \leq 10$。
对于一元二次方程$(a - 5)x^2 + 4x + 1 = 0$，有实数根需满足：
$\begin{cases}a - 5 \neq 0 \\\Delta = 16 - 4(a - 5) \geq 0\end{cases}$
即$\begin{cases}a \neq 5 \\16 - 4a + 20 \geq 0 \Rightarrow a \leq 9\end{cases}$
综上，$a$的取值范围为$4 ＜ a \leq 9$且$a \neq 5$，整数$a$的值为6，7，8，9。
所有整数$a$的值之和为$6 + 7 + 8 + 9 = 30$。
答案：B
11. 方程 $(x - 2)^{2}-9= 0$ 的根是
$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
.
答案：
解：$(x - 2)^{2} - 9 = 0$
$(x - 2)^{2} = 9$
$x - 2 = \pm 3$
$x - 2 = 3$ 或 $x - 2 = -3$
$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
方程的根是$x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
$(x - 2)^{2} = 9$
$x - 2 = \pm 3$
$x - 2 = 3$ 或 $x - 2 = -3$
$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
方程的根是$x_1 = 5$，$x_2 = -1$。
12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x + k= 0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是
$k ＜ 4$
.
答案：
解：对于一元二次方程 $x^2 - 4x + k = 0$，其中 $a = 1$，$b = -4$，$c = k$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
即 $(-4)^2 - 4 × 1 × k ＞ 0$，
$16 - 4k ＞ 0$，
$-4k ＞ -16$，
解得 $k ＜ 4$。
故 $k$ 的取值范围是 $k ＜ 4$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$。
即 $(-4)^2 - 4 × 1 × k ＞ 0$，
$16 - 4k ＞ 0$，
$-4k ＞ -16$，
解得 $k ＜ 4$。
故 $k$ 的取值范围是 $k ＜ 4$。
13. 如图,已知 $A,B,C$ 是数轴上异于原点 $O$ 的三个点,且点 $O$ 为 $AB$ 的中点,点 $B$ 为 $AC$ 的中点. 若点 $B$ 对应的数是 $x$,点 $C$ 对应的数是 $x^{2}-3x$,则 $x= $
6
.
答案：
解：因为点O为AB的中点，点B对应的数是x，所以点A对应的数是-2x + x = -x（此处应为：点O是AB中点，则OA=OB，点O在原点，所以点A对应的数是 -x）。
因为点B为AC的中点，所以点B对应的数是点A和点C对应数的平均数，即$x = \frac{-x + (x^2 - 3x)}{2}$
化简得：$2x = -x + x^2 - 3x$
$2x = x^2 - 4x$
$x^2 - 6x = 0$
$x(x - 6) = 0$
解得$x = 0$或$x = 6$
因为点B异于原点O，所以$x \neq 0$，故$x = 6$
6
因为点B为AC的中点，所以点B对应的数是点A和点C对应数的平均数，即$x = \frac{-x + (x^2 - 3x)}{2}$
化简得：$2x = -x + x^2 - 3x$
$2x = x^2 - 4x$
$x^2 - 6x = 0$
$x(x - 6) = 0$
解得$x = 0$或$x = 6$
因为点B异于原点O，所以$x \neq 0$，故$x = 6$
6
14. 若方程 $2x^{2}-3x - 1= 0$ 有一个根为 $m$,则代数式 $3m(2m - 3)-1$ 的值为
2
.
答案：
解：
∵方程$2x^{2}-3x - 1= 0$有一个根为$m$
$\therefore 2m^{2}-3m - 1= 0$
$\therefore 2m^{2}-3m=1$
$\therefore 3m(2m - 3)-1=6m^{2}-9m -1=3(2m^{2}-3m)-1=3×1 -1=2$
故答案为：2
∵方程$2x^{2}-3x - 1= 0$有一个根为$m$
$\therefore 2m^{2}-3m - 1= 0$
$\therefore 2m^{2}-3m=1$
$\therefore 3m(2m - 3)-1=6m^{2}-9m -1=3(2m^{2}-3m)-1=3×1 -1=2$
故答案为：2
15. 已知关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+bx + c= 3$ 的解与 $(x - 1)(x - 4)= 0$ 的解相同,则 $a + b + c$ 的值为______
3
.
答案：
解：解方程$(x - 1)(x - 4)=0$，得$x_1=1$，$x_2=4$。
因为方程$ax^2 + bx + c = 3$的解与$(x - 1)(x - 4)=0$的解相同，所以$x=1$是方程$ax^2 + bx + c = 3$的解。
将$x=1$代入$ax^2 + bx + c = 3$，得$a×1^2 + b×1 + c = 3$，即$a + b + c = 3$。
3
因为方程$ax^2 + bx + c = 3$的解与$(x - 1)(x - 4)=0$的解相同，所以$x=1$是方程$ax^2 + bx + c = 3$的解。
将$x=1$代入$ax^2 + bx + c = 3$，得$a×1^2 + b×1 + c = 3$，即$a + b + c = 3$。
3
16. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $2x^{2}-3x + 1= 0$ 的两根,则代数式 $\frac{x_{1}+x_{2}}{1 + x_{1}x_{2}}$ 的值为
1
.
答案：
解：对于方程 $2x^{2}-3x + 1= 0$，
$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由韦达定理得：
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
则$\frac{x_{1}+x_{2}}{1 + x_{1}x_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$。
1
$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由韦达定理得：
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
则$\frac{x_{1}+x_{2}}{1 + x_{1}x_{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1$。
1
17. 如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为 60 m,宽为 40 m 的矩形空地上,修建一个矩形花圃,并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道. 若通道所占面积是整个矩形空地面积的 $\frac{3}{8}$,则此时通道的宽为
5
m.
答案：
解：设通道的宽为 $ x $ m。
矩形空地面积为 $ 60 × 40 = 2400 \, \text{m}^2 $，通道面积为 $ \frac{3}{8} × 2400 = 900 \, \text{m}^2 $，则花圃面积为 $ 2400 - 900 = 1500 \, \text{m}^2 $。
花圃的长为 $ (60 - 2x) $ m，宽为 $ (40 - 2x) $ m，依题意得：
$(60 - 2x)(40 - 2x) = 1500$
整理得：
$x^2 - 50x + 225 = 0$
解得：
$x_1 = 5, \, x_2 = 45 \, (\text{不合题意，舍去})$
答：通道的宽为 $ 5 $ m。
5
矩形空地面积为 $ 60 × 40 = 2400 \, \text{m}^2 $，通道面积为 $ \frac{3}{8} × 2400 = 900 \, \text{m}^2 $，则花圃面积为 $ 2400 - 900 = 1500 \, \text{m}^2 $。
花圃的长为 $ (60 - 2x) $ m，宽为 $ (40 - 2x) $ m，依题意得：
$(60 - 2x)(40 - 2x) = 1500$
整理得：
$x^2 - 50x + 225 = 0$
解得：
$x_1 = 5, \, x_2 = 45 \, (\text{不合题意，舍去})$
答：通道的宽为 $ 5 $ m。
5
18. 在等腰三角形 $ABC$ 中,$BC = 8$,$AB,AC$ 的长是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-10x + m= 0$ 的两个根,则 $m$ 的值是______
25或16
.
答案：
解：
情况一：若AB=AC，则方程有两个相等的根，判别式$\Delta = (-10)^2 - 4m = 0$，解得$m = 25$，此时方程为$x^2 - 10x + 25 = 0$，根为$x = 5$，即AB=AC=5，5+5＞8，符合三角形三边关系。
情况二：若BC为腰，则AB=8或AC=8，将x=8代入方程得$8^2 - 10×8 + m = 0$，解得$m = 16$，此时方程为$x^2 - 10x + 16 = 0$，另一根为$x = 2$，即三边长为8，8，2，8+2＞8，符合三角形三边关系。
综上，m的值是25或16。
情况一：若AB=AC，则方程有两个相等的根，判别式$\Delta = (-10)^2 - 4m = 0$，解得$m = 25$，此时方程为$x^2 - 10x + 25 = 0$，根为$x = 5$，即AB=AC=5，5+5＞8，符合三角形三边关系。
情况二：若BC为腰，则AB=8或AC=8，将x=8代入方程得$8^2 - 10×8 + m = 0$，解得$m = 16$，此时方程为$x^2 - 10x + 16 = 0$，另一根为$x = 2$，即三边长为8，8，2，8+2＞8，符合三角形三边关系。
综上，m的值是25或16。
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