《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

25. (12 分)如图,抛物线经过点 $ O(0, 0) $,$ A(5, 5) $,且它的对称轴为直线 $ x = 2 $。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点 $ B $ 是抛物线对称轴上的一点,且点 $ B $ 在第一象限,当 $ \triangle OAB $ 的面积为 $ 15 $ 时,求点 $ B $ 的坐标；
(3)在(2)的条件下,$ P $ 是抛物线上的动点,当 $ PA - PB $ 的值最大时,求点 $ P $ 的坐标以及 $ PA - PB $ 的最大值。

答案：
解:
(1) $\because$ 抛物线过点 $O(0,0)$，$A(5,5)$，且它的对称轴为直线 $x=2$，$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点的坐标为 $(4,0)$。设抛物线的解析式为 $y=ax(x-4)$，把 $A(5,5)$ 代入，得 $5a=5$，解得 $a=1$，$\therefore y=x(x-4)=x^{2}-4x$，故此抛物线的解析式为 $y=x^{2}-4x$；
(2) $\because$ 点 $B$ 是抛物线对称轴上的一点，且点 $B$ 在第一象限，$\therefore$ 设 $B(2,m)(m＞0)$。连接 $OA$，设直线 $OA$ 的解析式为 $y=kx$，则 $5k=5$，解得 $k=1$，$\therefore$ 直线 $OA$ 的解析式为 $y=x$。设直线 $OA$ 与抛物线对称轴交于点 $H$，如答图①，则 $H(2,2)$，$\therefore BH=|m-2|$。$\because S_{\triangle OAB}=15$，$\therefore \frac{1}{2}×|m-2|×5=15$，解得 $m=8$ 或 $-4$。$\because m＞0$，$\therefore m=8$，$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(2,8)$；
(3) 设直线 $AB$ 的解析式为 $y=cx+d$，把 $A(5,5)$，$B(2,8)$ 代入，得 $\begin{cases}5c+d=5,\\2c+d=8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=-1,\\d=10,\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $AB$ 的解析式为 $y=-x+10$。当 $PA-PB$ 的值最大时，$A$、$B$、$P$ 在同一条直线上，如答图②。$\because P$ 是抛物线上的动点，联立 $\begin{cases}y=-x+10,\\y=x^{2}-4x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_{1}=-2,\\y_{1}=12,\end{cases}$ $\begin{cases}x_{2}=5,\\y_{2}=5\end{cases}$ (舍去)。$\therefore P(-2,12)$，此时，$PA-PB=AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(5-8)^{2}}=3\sqrt{2}$。