《2025年名师测控九年级数学上册人教版》

23. (10 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 4$,$\angle C = 64^{\circ}$,以 AB 为直径的$\odot O$与 AC 相交于点 D,E 为$\widehat{ABD}$上一点,且$\angle ADE = 40^{\circ}$.
(1)求$\widehat{BE}$的长；
(2)若$\angle EAD = 76^{\circ}$,求证：CB 为$\odot O$的切线.

答案：
(1) 连接 $OE$。
$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AB = 4$，
$\therefore \odot O$ 的半径为 $2$。
$\because \angle ADE = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle AOE = 2\angle ADE = 80^{\circ}$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。
$\because \angle AOE + \angle BOE = 180^{\circ}$（平角定义），
$\therefore \angle BOE = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$。
$\therefore \widehat{BE}$ 的长为 $\frac{100 × \pi × 2}{180} = \frac{10}{9}\pi$。
(2) 连接 $BD$。
$\because \angle EAD = 76^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle AED = 180^{\circ} - \angle EAD - \angle ADE = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 40^{\circ} = 64^{\circ}$（三角形内角和定理）。
$\because \angle ABD = \angle AED = 64^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等）。
$\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
$\therefore \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABD = 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$。
$\because \angle C = 64^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = 180^{\circ} - \angle C - \angle BAC = 180^{\circ} - 64^{\circ} - 26^{\circ} = 90^{\circ}$（三角形内角和定理）。
$\therefore AB \perp BC$。
$\because OB$ 是 $\odot O$ 的半径，
$\therefore CB$ 为 $\odot O$ 的切线（切线的判定定理）。

24. (10 分)已知在$\triangle AOB$中,$\angle ABO = 30^{\circ}$,AB 为$\odot O$的弦,直线 MN 与$\odot O$相切于点 C.
(1)如图①,若$AB// MN$,直径 CE 与 AB 相交于点 D,求$\angle AOB和\angle BCE$的大小；
(2)如图②,若$OB// MN$,$CG\perp AB$,垂足为 G,CG 与 OB 相交于点 F,$OA = 3$,求线段 OF 的长.

答案：
(1) $\because OA=OB$，$\therefore \angle A=\angle ABO$。
$\because \angle A+\angle ABO+\angle AOB=180^{\circ}$，$\angle ABO=30^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$。
$\because$ 直线$MN$与$\odot O$相切于点$C$，$CE$为直径，$\therefore \angle ECM=90^{\circ}$。
$\because AB// MN$，$\therefore \angle CDB=\angle ECM=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=90^{\circ}-\angle ABO=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BCE=\frac{1}{2}\angle BOE=30^{\circ}$。
(2) 连接$OC$。
$\because OB// MN$，直线$MN$与$\odot O$相切于点$C$，$\therefore \angle MCO=\angle COB=90^{\circ}$。
$\because CG\perp AB$，$\therefore \angle FGB=90^{\circ}$。
$\because \angle ABO=30^{\circ}$，$\therefore \angle BFG=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CFO=\angle BFG=60^{\circ}$，$\angle OCF=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
在$Rt\triangle FOC$中，$CF=2OF$，$OC=OA=3$。
由勾股定理得$OF^{2}+3^{2}=(2OF)^{2}$，
即$OF^{2}+9=4OF^{2}$，解得$OF=\sqrt{3}$。
$\angle AOB=120^{\circ}$，$\angle BCE=30^{\circ}$；$OF=\sqrt{3}$。