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9. 甲、乙玩转盘游戏时,把质地相同的两个转盘A,B分别平均分成2份和3份,并在每一份内标有数字(如图). 游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜,数字之和为奇数时乙获胜. 若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘,则甲获胜的概率是(
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{2}$
A
)A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{1}{2}$
答案：
解：转盘A的数字为1、3（均为奇数），转盘B的数字为2（偶数）、3（奇数）、4（偶数）。
所有可能结果：
(1,2)、(1,3)、(1,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)，共6种。
数字之和为偶数的情况：
(1,3)（1+3=4）、(3,3)（3+3=6），共2种。
甲获胜的概率：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
答案：A
所有可能结果：
(1,2)、(1,3)、(1,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)，共6种。
数字之和为偶数的情况：
(1,3)（1+3=4）、(3,3)（3+3=6），共2种。
甲获胜的概率：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
答案：A
10. 投掷一枚质地均匀的骰子两次(骰子的六个面上分别刻有1到6的点数),向上一面的点数依次记为$a$,$b$,那么方程$x^{2}+ax+b= 0$有实数根的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{19}{36}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{19}{36}$
答案：
解：投掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能的结果有$6×6=36$种。
方程$x^2 + ax + b = 0$有实数根，需满足判别式$\Delta = a^2 - 4b \geq 0$，即$b \leq \frac{a^2}{4}$。
当$a=1$时，$b \leq \frac{1}{4}$，无符合条件的$b$；
当$a=2$时，$b \leq 1$，$b=1$，有1种；
当$a=3$时，$b \leq \frac{9}{4}=2.25$，$b=1,2$，有2种；
当$a=4$时，$b \leq 4$，$b=1,2,3,4$，有4种；
当$a=5$时，$b \leq \frac{25}{4}=6.25$，$b=1,2,3,4,5,6$，有6种；
当$a=6$时，$b \leq 9$，$b=1,2,3,4,5,6$，有6种。
符合条件的结果共有$0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$种。
所以概率为$\frac{19}{36}$。
答案：D
方程$x^2 + ax + b = 0$有实数根，需满足判别式$\Delta = a^2 - 4b \geq 0$，即$b \leq \frac{a^2}{4}$。
当$a=1$时，$b \leq \frac{1}{4}$，无符合条件的$b$；
当$a=2$时，$b \leq 1$，$b=1$，有1种；
当$a=3$时，$b \leq \frac{9}{4}=2.25$，$b=1,2$，有2种；
当$a=4$时，$b \leq 4$，$b=1,2,3,4$，有4种；
当$a=5$时，$b \leq \frac{25}{4}=6.25$，$b=1,2,3,4,5,6$，有6种；
当$a=6$时，$b \leq 9$，$b=1,2,3,4,5,6$，有6种。
符合条件的结果共有$0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$种。
所以概率为$\frac{19}{36}$。
答案：D
11. 小明用0～9中的数字给手机设置了六位开机密码,但他把最后一位数字忘记了,小明只输入一次密码就能打开手机的概率是
$\frac{1}{10}$
.
答案：
解：最后一位数字可能是0～9中的任意一个，共10种等可能的结果，其中正确的结果只有1种，所以小明只输入一次密码就能打开手机的概率是$\frac{1}{10}$。
$\frac{1}{10}$
$\frac{1}{10}$
12. 有四条线段,长度分别是4,6,8,10,从中任取三条线段能构成直角三角形的概率是
$\frac{1}{4}$
.
答案：
解：从四条线段中任取三条，共有以下4种情况：
①4，6，8；②4，6，10；③4，8，10；④6，8，10。
判断能否构成直角三角形：
对于①：$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，$8^2 = 64$，$52 ≠ 64$，不能构成直角三角形。
对于②：$4^2 + 6^2 = 52$，$10^2 = 100$，$52 ≠ 100$，不能构成直角三角形。
对于③：$4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$，$10^2 = 100$，$80 ≠ 100$，不能构成直角三角形。
对于④：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，$6^2 + 8^2 = 10^2$，能构成直角三角形。
能构成直角三角形的情况有1种，总情况数为4种，所以概率为$\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
①4，6，8；②4，6，10；③4，8，10；④6，8，10。
判断能否构成直角三角形：
对于①：$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，$8^2 = 64$，$52 ≠ 64$，不能构成直角三角形。
对于②：$4^2 + 6^2 = 52$，$10^2 = 100$，$52 ≠ 100$，不能构成直角三角形。
对于③：$4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$，$10^2 = 100$，$80 ≠ 100$，不能构成直角三角形。
对于④：$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，$6^2 + 8^2 = 10^2$，能构成直角三角形。
能构成直角三角形的情况有1种，总情况数为4种，所以概率为$\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
13. 在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球,小明在袋中放入3个黑球(每个黑球除颜色外其余都与红球相同),摇匀后每次随机从袋中摸出一个球,记录颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.85左右,估计袋中红球有______个.
17
答案：
设袋中红球有$x$个，袋中球的总数为$(x + 3)$个。
由摸到红球的频率稳定在$0.85$左右，可得$\frac{x}{x + 3} = 0.85$
解方程：
$x = 0.85(x + 3)$
$x = 0.85x + 2.55$
$x - 0.85x = 2.55$
$0.15x = 2.55$
$x = 17$
17
由摸到红球的频率稳定在$0.85$左右，可得$\frac{x}{x + 3} = 0.85$
解方程：
$x = 0.85(x + 3)$
$x = 0.85x + 2.55$
$x - 0.85x = 2.55$
$0.15x = 2.55$
$x = 17$
17
14. 某医院门诊挂号处设有A,B两个挂号窗口. 现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号,则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为
$\frac{1}{4}$
.
答案：
甲、乙两位患者选择窗口的所有可能结果为：(A,A)、(A,B)、(B,A)、(B,B)，共4种。其中恰好都选择B窗口的结果只有1种，即(B,B)。所以概率为$\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
15. 甲、乙两个不透明的袋子里,分别装有质地、大小完全一样的4个、3个小球,甲袋中的4个小球上分别标有数字-1,-2,1,2,乙袋中的3个小球上分别标有数字-1,0,1. 若随机从甲袋和乙袋中各摸出一个小球,则两球所标数字之和是正数的概率是______
$\frac{5}{12}$
.
答案：
解：列表如下：
| 甲袋\乙袋 | -1 | 0 | 1 |
| --- | --- | --- | --- |
| -1 | (-1,-1) | (-1,0) | (-1,1) |
| -2 | (-2,-1) | (-2,0) | (-2,1) |
| 1 | (1,-1) | (1,0) | (1,1) |
| 2 | (2,-1) | (2,0) | (2,1) |
共有12种等可能的结果，其中两球所标数字之和是正数的结果有：(1,1)，(2,-1)，(2,0)，(2,1)，(1,0)，共5种。
所以两球所标数字之和是正数的概率是$\frac{5}{12}$。
$\frac{5}{12}$
| 甲袋\乙袋 | -1 | 0 | 1 |
| --- | --- | --- | --- |
| -1 | (-1,-1) | (-1,0) | (-1,1) |
| -2 | (-2,-1) | (-2,0) | (-2,1) |
| 1 | (1,-1) | (1,0) | (1,1) |
| 2 | (2,-1) | (2,0) | (2,1) |
共有12种等可能的结果，其中两球所标数字之和是正数的结果有：(1,1)，(2,-1)，(2,0)，(2,1)，(1,0)，共5种。
所以两球所标数字之和是正数的概率是$\frac{5}{12}$。
$\frac{5}{12}$
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