《2025年课时训练七年级数学下册苏科版江苏人民出版社》

24. （6分）某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人.
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车$m$辆，大客车$n$辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元. 请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金.
解：（1）设每辆小客车能坐$x$名学生，每辆大客车能坐$y$名学生，
依题意，得$\begin{cases}3x + y = 130 \\ x + 2y = 110\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 30 \\ y = 40\end{cases}$.
故每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生.
（2）最省钱的租车方案是租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元.

答案： （1）设每辆小客车能坐$x$名学生，每辆大客车能坐$y$名学生，
依题意，得$\begin{cases}3x + y = 130,\\x + 2y = 110,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 30,\\y = 40.\end{cases}$
故每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生.
（2）①依题意得$30m + 40n = 380$，$\therefore n=\frac{38 - 3m}{4}$.
又$m,n$均为整数，
$\therefore\begin{cases}m = 2,\\n = 8\end{cases}$或$\begin{cases}m = 6,\\n = 5\end{cases}$或$\begin{cases}m = 10,\\n = 2.\end{cases}$
$\therefore$共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆.
②方案1所需租金为$200\times2 + 300\times8 = 2800$（元）；
方案2所需租金为$200\times6 + 300\times5 = 2700$（元）；
方案3所需租金为$200\times10 + 300\times2 = 2600$（元）.
$\because2800＞2700＞2600$，
$\therefore$最省钱的租车方案是租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元.

25. （6分）我们知道方程$2x + 3y = 12$有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如：由$2x + 3y = 12$，得$y = \frac{12 - 2x}{3} = 4 - \frac{2}{3}x(x,y$为正整数$)$. 要使$y = 4 - \frac{2}{3}x$为正整数，则$\frac{2}{3}x$为整数，可知：$x$为3的倍数，从而$x = 3$，代入$y = 4 - \frac{2}{3}x = 2$，所以$2x + 3y = 12$的正整数解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}$.
（1）请根据材料求出方程$3x + 2y = 8$的正整数解.
（2）把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管，在不造成浪费的情况下，共有几种截法？
解：（1）由$3x + 2y = 8$，得$y = \frac{8 - 3x}{2} = 4 - \frac{3}{2}x(x,y$为正整数$)$，要使$y = 4 - \frac{3}{2}x$为正整数，则$\frac{3}{2}x$为整数，可知$x$为2的倍数，从而$x = 2$，代入$y = 4 - \frac{3}{2}x = 1$，
$\therefore$方程$3x + 2y = 8$的正整数解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}$.
（2）设截成2米长的钢管$x$段，3米长的钢管$y$段，
依题意，得$2x + 3y = 20$，$\therefore x = 10 - \frac{3}{2}y$.
又$x$，$y$均为正整数，$\therefore\begin{cases}x = 7 \\ y = 2\end{cases}$，$\begin{cases}x = 4 \\ y = 4\end{cases}$，$\begin{cases}x = 1 \\ y = 6\end{cases}$，$\therefore$共有3种截法.

答案： （1）由$3x + 2y = 8$，得$y=\frac{8 - 3x}{2}=4-\frac{3}{2}x(x,y$为正整数)，要使$y = 4-\frac{3}{2}x$为正整数，则$\frac{3}{2}x$为整数，可知$x$为2的倍数，从而$x = 2$，代入$y = 4-\frac{3}{2}x = 1$，
$\therefore$方程$3x + 2y = 8$的正整数解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$
（2）设截成2米长的钢管$x$段，3米长的钢管$y$段，
依题意，得$2x + 3y = 20$，$\therefore x = 10-\frac{3}{2}y$.
又$x,y$均为正整数，
$\therefore\begin{cases}x = 7,\\y = 2,\end{cases}\begin{cases}x = 4,\\y = 4,\end{cases}\begin{cases}x = 1,\\y = 6,\end{cases}$
$\therefore$共有3种截法.