《2025年课时训练七年级数学下册苏科版江苏人民出版社》

25. （10分）（2024·山西临汾洪洞期末）如图（1），点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°. 将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=30°.
（1）将图（1）中的三角尺绕点O顺时针旋转至图（2），使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图（1）中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；（直接写出结果）
（3）将图（1）中的三角尺绕点O顺时针旋转至图（3），使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.
解：（1）∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°.
∵OM平分∠BOC，∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM + 90° = 150°.
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90° - ∠AOM，∠AON=60° - ∠NOC，
∴90° - ∠AOM=60° - ∠NOC，∴∠AOM - ∠NOC=30°.
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为∠AOM - ∠NOC=30°.

答案：
(1)
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°。
∵OM平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°。
(2)9或27 12或30 [解析]
∵∠OMN=30°，
∴∠N=90°−30°=60°。
∵∠AOC=60°，
∴当ON在直线AB上时，MN//OC，
∴旋转角为90°或270°。
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9或27。
当直线ON恰好平分锐角AOC时，
∴旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°。
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为12或30。
(3)
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=90°−∠AOM，
∠AON=60°−∠NOC，
∴90°−∠AOM=60°−∠NOC，
∴∠AOM−∠NOC=30°。
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为∠AOM−∠NOC=30°。